Descartes et les Mathématiques Les problèmes de clôture mathématique | |
Sommaire3. Tourniquette sur un polygone Tourniquette sur une parabole |
Reconstituer un triangle D'un triangle, il ne reste que les milieux des côtés, Construire un triangle connaissant ses médianes : droites remarquables du triangle « Le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard triangulaire qui se ferme ». |
1. Reconstituer un pentagone à partir des milieuxRetrouver un pentagone ABCDE à partir des milieux I, J, K, L et M de ses côtés ? Trouver une solution Le logiciel GéoPlan permet à partir de cinq milieux I, J, K, L, M et d'un sommet variable A1 de faire une conjecture pour une solution : Dans l'imagiciel en déplaçant le point A1 on s'aperçoit que son image A’ est obtenue par une transformation connue. En effet, en plaçant le point A milieu de [A1A’], nous trouvons un point fixe indépendant de A1. Les points A1 et A’ sont symétriques par rapport à A. La composition de cinq symétries centrales est une symétrie. Le point A est le sommet du pentagone que l'on reconstitue par les cinq symétries centrales. Télécharger la figure GéoPlan mon_044s.g2w Dans GéoPlan, déplacer A1, le faire coïncider avec A’, | |
Construction d'une médianeDans un pentagone ABCDE, intéressons-nous aux diagonales [AC] et [AD], de milieux respectifs P et Q. Dans le triangle ABC, la droite des milieux (IJ) est parallèle à (AC) et IJ est égal à la moitié
de AC. De même, dans les triangles AED et ACD, les segments des milieux [ML] et [PK] sont parallèles et de même longueur, égale à la moitié de AD. On retrouve la configuration du théorème de la médiane du triangle ADC : la diagonale [KA] du parallélogramme APKQ vérifie les relations vectorielles : Pour reconstruire un pentagone à partir des milieux des côtés il suffit de construire le sommet A tel que = + . Procéder de la façon suivante : tracer le point P quatrième sommet du parallélogramme MLKP et le point Q quatrième sommet du parallélogramme IJKQ. Le point A est alors le quatrième sommet du parallélogramme PKQA. | |
Construction Tracer le point S tel que = ,
LKJS est un parallélogramme et = . = ( + ) + ( + ). Le premier terme est − = = + et en simplifiant on a : Si IJKLM est le pentagone des milieux, on accroche en J un segment JS de même direction, même sens (!) et même longueur que PQ. Télécharger la figure GéoPlan mon_044b.g2w, la figure GéoPlan mon_044p.g2w | |
2. Reconstituer un quadrilatèreComment retrouver un quadrilatère ABCDE à partir des milieux I, J, K et L de ses côtés ? Trouver une solution Le logiciel GéoPlan permet à partir de quatre milieux I, J, K, L et d'un sommet variable A de faire une conjecture pour une solution. En déplaçant le point A on s'aperçoit que son image A’ est obtenue par une transformation connue et une aide à la solution est donnée par l'imagiciel en tapant sur la touche S : De même, A’ est l'image de C par la composition de deux symétries de centres K et L, c'est la translation de vecteur = 2 (remarquer que KL est une droite des milieux du triangle CA’D). Télécharger la figure GéoPlan mon_044v.g2w | |
Une infinité de solutions Le théorème de Varignon assure que IJKL doit être un parallélogramme pour que la construction soit possible. En effet, dans le triangle ABC, le théorème des milieux permet de montrer que IJ est parallèle à la diagonale AC du quadrilatère et égal à sa moitié. De même, LK est parallèle à AC et égal à sa moitié. Dans ce cas une infinité de quadrilatères répondent à la question, on peut alors les tracer à partir de n'importe quel point A du plan et trouver de proche les autres points. L'aire du quadrilatère ABCD est le double de l'aire du parallélogramme IJJK : Télécharger la figure GéoPlan mon_044r.g2w | |
3. Tourniquette sur un polygoneFigures de Thompsen Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. | |
3.a. Tourniquette sur un triangleSoit ABC un triangle et M1 un point de [AB]. Télécharger la figure GéoPlan tour_tri.g2w | |
3.b. Tourniquette sur un quadrilatèreLa tourniquette se referme en un tour et M5 = M1 ; Télécharger la figure GéoPlan tour_qua.g2w | |
3.c. Tourniquette sur un pentagone(M1M2) // (AC), (M2M3) // (BD), (M3M4) // (CE)… Pour d'autres polygones, en déduire une conjecture suivant la parité du nombre de côtés. Télécharger la figure GéoPlan tour_pen.g2w | |
3.d. Tourniquette sur un cercleOn choisit sur un cercle quatre points distincts M1, M2, M3 et M4. On construit les deux points M5 et M6 tels que : (M6M1) // (M3M4) : la tourniquette se referme et M7 = M1. Télécharger la figure GéoPlan tour_cer.g2w | |
Pour les polygones, les figures utilisent le prototype : M2 point parallèle M1, A, C, B qui permet de calculer le point M2, intersection de la parallèle à (AC), passant par M1, et de la droite (CB). Télécharger le prototype GéoPlan point_parallele.g2w | |
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