Descartes et les Mathématiques

Correpondance mathématique de René Descartes

Quelques extraits de lettres concernant les mathématiques.
(En préparation)

Sommaire

...

Au reste, permettez-moi que je vous demande comment vous gouvernez ma
Géométrie ; je crains bien que la difficulté des calculs ne vous en dégoutte
d’abord, mais il ne faut que peu de jours pour la surmonter, et par après on
les trouve beaucoup plus courts et plus commodes que ceux de Viète.
On doit aussi lire le troisième Livre avant le second, à cause qu'il est
beaucoup plus aisé.

Si vous désirez que je vous envoie quelques adresses particulières touchant le
calcul, j’ai ici un ami qui s’offre de les écrire, et je m’y offrirais bien aussi,
ais j’en suis moins capable que lui, à cause que je ne sais pas si bien remarque
en quoi on peut trouver de la difficulté.

Lettre de Descartes à Mydorge, le 1^er mars 1638

Démarche en géométrie

J'observe toujours, en cherchant une question de Géométrie, que les lignes,
dont je me sers pour la trouver, soient parallèles, ou s'entrecoupent à angles
droits, le plus qu'il est possible ; et je ne considère point d'autres Théorèmes,
sinon que les côtés des triangles semblables ont semblable proportion entre eux,
et que, dans les triangles rectangles, le carré de la base est égal aux deux carrés
des côtés. Et je ne crains point de supposer plusieurs quantités inconnues,
pour réduire la question à tels termes, qu'elle ne dépende que de ces deux
Théorèmes ; au contraire, j'aime mieux en supposer plus que moins.

Car, par ce moyen, je vois plus clairement tout ce que je fais, et en les démêlant
je trouve mieux les plus courts chemins, et m'exempte de multiplications superflues ;
au lieu que, si l'on tire d'autres lignes, et qu'on se serve d'autres Théorèmes,
bien qu'il puisse arriver, par hasard, que le chemin qu'on trouvera fort plus
court que le mien, toutefois il arrive quasi toujours le contraire.

Problème des quatre cercles

Dans la suite de cette lettre, Descartes propose le problème des trois cercles
d'Apollonius : trouver le centre d'un cercle tangent à trois cercles donnés.

Lettre à Élisabeth - 17 novembre 1643

Une deuxième lettre sur ce problème :

Lettre à Élisabeth - 29 novembre 1643

Mode texte : Correspondance avec Élisabeth - Egmond du Hoef, novembre 1643

Problema astronomicum ou problème des trois bâtons

Le gnomon est constitué d'un bâton vertical planté en terre. L'ombre du soleil à
l'extrémité du gnomon, définit, sur le plan horizontal un arc de conique,
souvent une branche d'hyperbole.
L'étude de cette courbe constitue la gnomonique

À la fin du seizième siècle, le hollandais Adrien Métius a posé le « problème des
trois ombres » dont le but est de déterminer, par trois observations astronomiques,
la latitude du lieu et la date du jour dans l'année.

Un problème de gnomonique encore plus complexe est le « Problema
astronomicum » : problème posé à Descartes par Stampioen, un autre
mathématicien hollandais.
Ce problème, dit « des trois bâtons » est de déterminer le lieu et le jour de
l'année dans lesquels trois bâtons, placés verticalement sur un plan horizontal,
produiront des ombres dont l'extrémité passera par le pied de chacun
des deux autres bâtons.

Pour en cela « Desargues prescrit de faire sceller sur le plan d'un cadran scolair
à construire, les extrémités de trois verges aboutissant à un même point S hors
du cadran solaire et dirigées suivant les rayons d'ombre de ce point à trois
moments différents de la journée. Sur chacune de ces verges, à partir du sommet S,
il porte une même longueur-et obtient ainsi trois points A, B , C. Il reporte sur le
papier le triangle ABC, construit le centre O du cercle circonscrit, puis par le
triangle rectangle SOA, dont il connait l'hypoténuse SA et un des côté OA,
il obtient la distance SO du point de rencontre des verges à celui du style avec
le plan ABC. Il faut alors entortiller autour des deux verges (soit SA et SB) aux
points A et B, deux fils de métal qui réunit à des distances égales de AO et BO
" en les tordant ensemble par leurs têtes ", et qu'il attache en leur point de
jonction O, avec la verge préparée pour servir de style à une distance S de son
sommet. En ajoutant ce sommet au point de rencontre S des verges, et en
disposant le tout de façon à tendre les fils AO et BO, il a placé le style
perpendiculairement au triangle ABC, donc suivant la direction de l'axe du monde.  »

Éclaircissement de Paul Tannery annoté par Jean-Robert Armogathe - tel Gallimard

Lettre à Mersenne - 29 janvier 1641

Commentaire

Problème que Descartes mettra en relation avec celui d'un
« cercle tangent à trois cercles donnés » et aussi, ses commentateurs, avec
celui consistantà trouver une « sphère tangente à quatre sphères » données.
Dans sa correspondance, Descartes juge que ces problèmes relèvent
 du « Calcul » c'est-à-dire du calcul littéral et sont une bonne occasion
de mettre en œuvre sa méthode.

A propos du problème de Pappus

M. de Roberval dit que je n'ai pas résolu le lieu de Pappus, & qu'il a un autre sens
que celui que je lui ai donné. Sur quoi je vous supplie très-humblement de
lui vouloir demander, de ma part, quel est cet autre sens, qu'il prenne la peine
de le mettre par écrit, afin que je le puisse mieux entendre. je m'offre,
en récompense, de l'avertir des principales fautes que j'ai remarquées.

Pour critiquer l'Aristarque de Roberval Descartes n’attendit pas que le
professeur lui envoyât ses observations sur la Géométrie, ce qu’au reste
il ne fit jamais, en sorte que nous ignorons la nature et la portée
de celles dont il s’agit ici....
nous voyons une remarque de Roberval touchant un passage de
La Géométrie, p. 326, et concernant indirectement la question de Pappus.
Roberval parait, en effet, avoir cherché en cet endroit la raison de cette
circonstance que Descartes ne donne qu’une seule conique pour le lieu
quatre droites, tandis que ce lieu comprend un système de deux coniques.

On prétendait, à Paris, que ce lieu n’avait pas été résolu par M. Descartes
en toute son étendue. Roberval qui, dès 1640, avait approfondi la question,
devait avoir reconnu, sans peine, le défaut de la solution de Descartes.

(Aristarchus : surnom donné par Descartes à Roberval en raison de son livre) 

Lettre CDXXIII - Descartes à Mersenne - 2 mars 1646.

Folium de Descartes

Le folium de Descartes, fleur de jasmin ou galand de Descartes-Roberval,
est une cubique en forme de nœud de ruban, d'équation cartésienne :
x³ + y³ = 3kxy (où k est un paramètre réel)..

Elle fut étudiée tout d'abord par Descartes et Roberval en 1638 puis
étudiée par Huygens en 1672.
Cette courbe met en évidence les faiblesses de la méthode de Fermat
dans la recherche des extremums d'une courbe algébrique.

Lettre XCIX - Descartes à Mersenne - Janvier 1638

Lettre CXXXVIII - Descartes à Mersenne - 23 août 1638

Correspondance sur WikiSource

Lettre à Mersenne du 31 mars 1638

Lettre à Debeaune du 20 février 1639

Table des matières

La Géométrie - Texte et notes pour mobiles

Livre premier

Livre second

Livre troisième

Le Calcul de Mons. des Cartes

Figures dynamiques des problèmes du Calcul de Mons. des Cartes