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Partage d'un segment en « moyenne raison »
Trois points A, B et M alignés
forment une section dorée si le point M du segment [AB] est tel que :  =  ,
ce qui signifie que le grand et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le petit segment (AB > AM > MB).
Le rapport  est, comme le montre les calculs ci-dessous, égal au nombre d'or φ =  ≈ 1,618 034 : on a le partage d'un segment qu'Euclide réalise sans calcul.
Au 15e siècle, avec le régne de la religion, le moine franciscain Luca Pacioli le nomme proportion divine, il devient d'or avec la montée du capitalisme au 19e.
Ceci est bien loin des préoccupations des mathématiciens pour qui c'est un nombre irrationnel constructible comme un autre.
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Soit un segment [AB] de longueur 1 et un point M de [AB] tel que AM = x, d'où MB = AB − AM = 1 − x.
Le point M partage [AB] suivant la section d'or si on a l'égalité des rapports et :
de =  et =  , on en tire = .
Le produit des « extrêmes » 1 − x est égal au produit des « moyens » x2 : x2 = 1 − x, d'où l'équation x2 + x − 1 = 0.
Cette équation a pour solution positive x =  =  = φ − 1, où φ = est le nombre d'or.
Le rapport = , inverse de , est donc égal au nombre d'or φ : le point M réalise une section dorée du segment [AB].
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2. Éléments d'Euclide - Le triangle d'or dans le livre IV
La découverte du nombre d'or remonte à l'antiquité grecque.
On a cru un temps que des figures de l'Égypte antique se rattachaient au nombre d'or, mais c'était pur hasard et superstition.
Pour les « anciens Grecs », le nombre d'or apparaît comme un nombre irrationnel, lié aux problèmes du partage d'un segment en « moyenne et extrême raison » et aux propriétés des pentagones et décagones.
L'essentiel des propriétés du nombre d'or se trouve dans les Éléments d'Euclide, qui ne lui donne pas de nom particulier, et qui était détaché de toutes les préoccupations mystiques qui entoureront ce nombre à partir du XVe siècle.
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Les éléments d'Euclide - livre IV - Proposition 10
Dans ce problème, Euclide définit l'inverse du nombre d'or comme la longueur AC, où le point C sur un segment AB (que nous considérons comme unitaire) de telle façon que :
AC2 = AB × BC.
Pour nous x2 = 1 × (1 − x).
Cette équation x2 + x − 1 = 0 a bien pour solution positive x = .
Le point C partage le segment [AB] en moyenne raison.
Sur le cercle de cercle A, passant par B, Euclide place le point D tel que BD =AC.
ABD est un triangle d'or.
Les angles à la base (72°) sont doubles de l'angle au sommet (36°).
Voir la construction d'Euclide du pentagone avec ce triangle d'or
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3. Triangle rectangle où un des petits côtés est la moitié de l'autre
3.a. Construction de φ
Tracer un angle droit de sommet O. Un cercle (c1) de centre O, coupe les côtés de cet angle en A et C.
On choisira comme unité le rayon OA.
D est le milieu de [OA], le cercle de centre D et de rayon DC coupe (OA) en B.
La longueur du segment [AB] est φ.
Remarque : le point O réalise une section dorée du segment [AB] :
OB =  (voir ci-contre).
Indications
En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle OCD, on a :
CD2 = CO2 + OD2 = 12 + ( )2 =  d'où CD =  .
AB = AD + DB = + = = φ.
 Télécharger la figure GéoPlan construc_phi.g2w
Remarque
Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, et est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.
On le trouve, accolé à un triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas » :
rectangle d'or
« rectangle  »
triangle d'or
pentagone régulier
décagone
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Partage d'un segment en « extrême et moyenne raison »
À partir du segment [AB], sur la perpendiculaire en A à (AB), placer un point M tel que :
AM = AB.
Le cercle (c1) de centre M, passant par A, coupe le segment [MB] en P.
Le cercle (c2) de centre B, passant par P, coupe le segment [AB] en C.
Le point C réalise une section dorée du segment [AB] :
 = φ.
Soit D le point de la droite (AB), à l'extérieur de [AB] tel que AD = BC.
C et D partagent le segment [AB] en « moyenne et extrême raison »:
 = = φ.
Si on choisit AB comme unité, alors DB = φ et CB = .
Indications
En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle AMB, on a :
MB2 = AM2 + AB2 = AM2 + (2AM)2 = 5 AM2 d'où MB = AM.
 = 2AM/PB = 2AM/(MB−MP) = 2AM/(MB−AM) =
=  = = φ.
Télécharger la figure GéoPlan section_or.g2w
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Constructions d'Euclide dans le livre VI
Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.
On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.
On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c2) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A.
Le cercle (c3) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.
D'après le livre VI des éléments
Preuve par le calcul
On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que :
AI = ; CA = AB = 1 ; DI = IC = ;
AM = DA = DI − AI = − = =
= φ − 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB − AM = 1 − = 2 − φ ≈ 0,382 ;
DB = DI + IB = + = φ ≈ 1,618.
MA = ;  = φ ;
= MB × = (1 − ) × φ = φ − 1 = = .
= d'où  = φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].
Remarque : le cercle (c3) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.
Télécharger la figure GéoPlan section_doree.g2w
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Construction avec deux carrés
Partage d'un segment [AC] en « moyenne raison » : étant donnés deux points A et C trouver un point P tel que A, C et P forment une section dorée.
Construction
On complète avec le point E le carré de côtés [AB] et [AC], et avec le point Q le carré de côtés [AD] et [AP].
La droite (QP) coupe (BE) en N.
Preuve par le calcul
Le rectangle PNEC a pour longueur CE = 1
et pour largeur CP = MB = 2 − φ (calcul ci-contre).
Son aire est 2 − φ.
Le carré DAPQ a pour côté AP = AM = .
Son aire est  .
Nous avons montré au chapitre 7 que = 2 − φ.
Le rectangle PNEC et le carré CFGH ont la même aire :
CE × PC = AC × PC = AP2.
 =  : on a bien une section dorée du segment [AC].
Télécharger la figure GéoPlan construc_euclide.g2w
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Autre construction
Construction du forum futura-sciences :
Soit deux points M et T du plan tels que MT = 1
Un cercle (c) est tangent en T à la droite (MT).
{Le centre O du cercle est situé sur la perpendiculaire en T à (MT)}
Étant donné un point A du cercle (c), sur la demi-droite [MA), à l'extérieur
du segment [MA] placer le point B tel que AB = 1 et tel que B soit sur (c).
Déplacer le point A de telle façon que B, intersection de [MA) et du cercle de centre A, de rayon 1, soit situé sur le cercle (c).
1. Montrer que MA × MB = MT2.
2. Montrer que le rapport  est égal au nombre d'or.
Indications
1. La puissance de M par rapport au cercle (c) est MA × MB et est égale au carré de la tangente MT.
2. AB = MT = 1. Posons MA = x, alors MB = MA + AB = x + 1; la puissance de M qui est MA × MB = MT2, s'écrit x(x + 1) = 12,
d'où l'équation x2 + x − 1 = 0 qui, comme nous l'avons vu au §1,
a pour solution positive x = = ;
MB = x + 1 = + 1 = φ.
Les trois points M, A, et B forment une section dorée. Le rapport est égal au nombre d'or φ.
Télécharger la figure GéoPlan fs_section_doree.g2w
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Dans un rectangle d'or, le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or φ = .
Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
• tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée,
• prendre le milieu K de [AD],
• rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E,
• terminer la construction du rectangle d'or ABFE.
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Indication
En effet, en choisissant la largeur AB comme unité, on a KE = KC = ,
d'après la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D,
et AE = + = φ.
Télécharger la figure GéoPlan rect_or.g2w
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À partir d'un carré ABCD, la diagonale [AF] du grand rectangle d'or ABFE est perpendiculaire à la diagonale [CE] du petit rectangle d'or CFED.
Cette propriété se retrouve en terminale S, avec la similitude de centre O et d'angle – 90° qui transforme A en C, et F en E. Cette similitude transforme les rectangles d'or : ABFE en CFED.
La diagonale [AF] a pour image [CE] et elles sont bien perpendiculaires : leur angle est égal à la valeur absolue de l'angle de la similitude.
Le centre O et le point I, intersection de ces deux diagonales, sont les deux points d'intersection des cercles de diamètres [AC] et [FE].
 Figure interactive dans GeoGebraTube : diagonales des rectangles d'or
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Perpendiculaires et rectangles d'or
Grâce à cette propriété est caractéristique, à partir du carré ABCD, en déplaçant le point E sur [AD) de telle façon que les diagonales [AF] et [CE] soient perpendiculaires, on peut trouver un rectangle d'or qui donne le nombre d'or φ.
Avec un logiciel de géométrie dynamique, il est en principe possible de retrouver cette configuration (j'ai un peu triché pour éditer la figure !)
Les anciens Égyptiens auraient utilisé cette propriété.
On peut se poser la question de savoir comment on peut ainsi inverser cause et conséquence sans connaître le nombre d'or ?
Des recherches minutieuses dans les pyramides n'ont pas permis de retrouver le CD de GeoGebra utilisé !
Figure interactive dans GeoGebraTube : construction de rectangles d'or
Commande GeoGebra : déplacer le point E
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Le Modulor - Le Corbusier - 1948
En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.
« Le tracé régulateur n'apporte pas d'idées poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. »
5.c.2. Tracé régulateur dans un rectangle d'or
Les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.
Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.
Section d'or sur une diagonale : AF/AP = AP/AM = φ.
Section d'or sur un côté des carrés : CD/CN = CN/CP = φ.
Télécharger la figure GéoPlan rect_or4.g2w
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5.c.3. Tracé régulateur dans un « rectangle »
« Rectangle » :
le rapport entre la longueur et la largeur est . Le rectangle est la juxtaposition d'un carré de côté 1 et deux rectangles d'or de longueur 1 et de largeur .
AFGD et EBCH sont des rectangles d'or de longueur φ et de largeur 1.
Télécharger la figure GéoPlan rect_rac_5.g2w
Construction à partir d'un carré de côté [EF] tel que EF = 1.
Soit O le milieu de [EF].
Le cercle de centre O, passant par H, coupe (EF) en A et B. Compléter le rectangle avec C et D sur (GH).
ABCD est un « rectangle » de longueur 1 et de largeur .
Voir : inscrire un carré dans un demi-cercle
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5.c.4. La Présentation de la Vierge au Temple
Titien 1488-1576, Académie de Venise
L'escalier est parallèle à une des diagonales du rectangle d'or de droite.
Plus contestable : il comporte 8 et 5 marches, une suite de Fibonacci.
Le centre est dans la lumière, deux rectangles d'or de chaque côté sont dans l'ombre.
La petite fille, à l'intersection des diagonales du rectangle d'or de droite, est la vierge ; la femme à la coiffe drapée blanche c'est sa mère, sainte Anne.
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Tout cela c'est bien beau, mais les dimensions du tableau ne respectent pas la divine proportion et le tracé régulateur n'a rien à voir avec le rectangle d'or !
Figure interactive dans GeoGebraTube : tracé régulateur - Présentation de la Vierge
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5.c.5. Carré inscrit dans un demi-cercle
L'École d'Athènes − Raphaël, vers 1510 − Musée du Vatican
Le côté du carré jaune est égal au diamètre du cercle, divisé par . Cette construction classique est habituellement réalisée en 1ère S avec les homothéties, mais peut être résolue par le calcul en classe de seconde.
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Pavage de rectangles d'or
Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.
Ces rectangles sont obtenus en ajoutant au rectangle un carré qui est le gnomon de ce rectangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau rectangle semblable au précédent.
Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan : voir ci-contre.
Télécharger la figure GéoPlan rect_or2.g2w
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Création itérative avec GéoPlan
Tracer un rectangle d'or initial A0B0F0E0 à partir du carré A0B0C0D0.
Tracer A0E0A1B1. B0F0A1B1 est un rectangle d'or.
Remplacer A0, B0, F0, E0 respectivement par C1, F1, E1,
D1 pour obtenir le rectangle d'or A1B1F1E1 contenant le carré A1B1C1D1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S) on tracera les carrés suivants.
En traçant, dans chaque nouveau carré, le quart de cercle de centre Dn, reliant AnAn+1, on obtient la spirale dorée C0A0A1A2…
Commande GéoPlan
Taper S pour itérer et tracer du rectangle suivant.
Attention, ne pas sauvegarder la figure après modification.
Télécharger la figure GéoPlan rect_or3.g2w
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Joconde et spirale d'or
Le nombre d’or a fasciné mais il n'existe pas de loi mathématique de l’esthétisme.
Dans les années 30, avec Matila Ghyka, les adeptes du nombre d’or ont disséqué les œuvres d’art pour y déceler ce nombre.
Par exemple sur la Joconde ci-contre, on trouve une approximation du nombre d’or, mais le rectangle d'or contenant la spirale est bien éloigné du format du tableau !
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La spirale dorée est approchée par une spirale logarithmique d'équation en coordonnées polaires
ρ = aφ(2q/p) dans un repère d'origine I point d'intersection de diagonales des rectangles d'or (voir figure).
C'est la spirale miraculeuse (spira mirabilis) de Jacob Bernouilli.
Une autre spirale logarithmique passe par les sommets des rectangles d'or.
Télécharger la figure GéoPlan rect_or5.g2w
Voir : Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET : spirale d'or
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À partir d'Yvo Jacquier
Dans le triangle rectangle égyptien 3 ; 4 ; 5, on trace le cercle inscrit de centre O, de rayon 1, tangent en E, F et R aux côtés du triangle.
Dans le triangle rectangle AEO de petits côtés 2 et 1, l'hypoténuse mesure .
La bissectrice (AO) coupe le cercle inscrit en P,
tel que AP = + 1.
En divisant AP par 2, on trouve le nombre d'or φ = .
Les anciens Égyptiens ne savaient pas le théorème de Pythagore, ni le calcul sur les racines.
Il semble difficile qu'il puissent utiliser une telle figure pour trouver le partage en moyenne raison ?
Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle égyptien
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Le triangle d'or (ou triangle sublime, ou triangle d'Euclide) ACD est un triangle isocèle en C d'angle  ,
les deux autres angles à la base en A et D étant égaux à  .
Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre d'or :  = = φ.
Soit B le point qui partage [AC] en une section d'or :
Q =  = φ, on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l'angle ADC.
Le triangle isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à φ. Ce triangle ABD est aussi un triangle d'or.
Le triangle BCD est un triangle d'argent, isocèle en B d'angle  ,
les deux autres angles, en C et D, étant égaux à .
Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or :  = φ.
Télécharger la figure GéoPlan trian_or.g2w
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Un triangle d'or et deux triangles d'argent
Un pentagone régulier est formé par un triangle d'or et deux triangles d'argent.
Dans le pentagone ABCDE, ACD est un triangle d'or, ABC et ADE sont des triangles d'argent
C'est harmonique, Euclide n'y voyait que de l'or.
L'obscurantisme de la « géométrie sacrée », aidé par les druides d'Internet, confère au pentagone un caractère divin.
Télécharger la figure GéoPlan pentagone.g2w
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Pentagone régulier et nombre d'or
PE = BQ = BA.
Le rapport  est égal au nombre d'or : BA/BE = φ.
Le point P divise [BQ] et [BE] dans le rapport du nombre d’or :
BP/BQ = PE/BE = φ.
Les points P et E divise [BQ] en « moyenne et extrême raison ».
Télécharger la figure GéoPlan pentagone.g2w
Triangle bisocèle : voir triangle au collège
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À partir du segment [AB] trouver un point C et tracer un triangle d'or ayant une base [DC] égale à AB.
On adapte ici le procédé de construction du rectangle d'or
Soit K le milieu de [AB] et B’ le point de la droite perpendiculaire en B situé sur le cercle c1 de centre B passant par A (tel que le triangle ABB’ soit rectangle isocèle direct (cf. figure).
Le cercle c2 de centre K passant par B’ coupe la demi-droite [AB) en C.
B est la section dorée de [AC].
En effet, si la longueur AB représente l'unité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB’ permet de vérifier que :
AC = AK + KC = AK + KB’ = + = φ.
Une des intersections du cercle c3 de centre A passant par C avec le premier cercle c1 de centre B est D.
ACD est un triangle d'or.
Télécharger la figure GéoPlan trian_or2.g2w
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6.e. Construction du triangle d'or à partir du grand côté
Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d'or. Le troisième sommet D est un des points d'intersection du cercle c3 de centre C, passant par A et du cercle c4 de centre B, passant par C.
Soit α =  l'angle au sommet du triangle d'or. α est aussi égal à l'angle  du triangle d'or isométrique.  = 2α car (DB) en est la bissectrice.
La somme des trois angles du triangle d'or est + +  = α + 2α + 2α = 5α = π.
α = . Le triangle d'or a donc un angle au sommet de , les deux autres angles étant égaux à .
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Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.
À partir du triangle AnAn+1An+2 créer le point An+3 tel que An+1AnAn+3 soit une section d'or et recommencer.
Ces triangles sont obtenus en ajoutant au triangle un triangle d'or qui est le gnomon de ce triangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau triangle semblable au précédent.
Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :
tracer un triangle d'or initial A0B0C0. Trouver le point A1 tel que B0C0A1 forme une section d'or. Remplacer A0 et B0 respectivement par B1, C1 pour obtenir
le triangle d'or A1B1C1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.
Télécharger la figure GéoPlan trian_or5.g2w
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Une spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,
ρ = aφ(5q/3p) dans un repère d'origine I, intersection des droites A0A5 et A1A6 (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.
Télécharger la figure GéoPlan tria_or6.g2w
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Étudier la suite numérique un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par :  .
La limite l de cette suite est le nombre d'or φ = . C'est la solution de l'équation irrationnelle  ; solution positive de l'équation du second degré :
x2 = x + 1, soit x2 − x − 1 = 0.
Le produit des solutions de cette équation est −1, la solution négative est l'opposé de l'inverse du nombre d'or : β
= − . En divisant l'équation par x, non nul, on obtient :
x − 1 −  = 0 soit x = 1 + ,
d'où φ = 1 + .
φ et ont
donc la même partie décimale 0,618 033 988 75… On retrouve donc la définition de Luca Pacioli, donnée dans son ouvrage
la divine proportion en 1509 : « Le nombre d'or est tel que si on lui ajoute l'unité et qu'on le divise par lui-même on le retrouve »
On pourra montrer que la suite vn, définie par v0 = 0 et pour tout n positif par :  , a pour limite φ.
Remarque : au XIXe siècle on utilise la lettre grecque φ (phi) pour le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias.
Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre.
C'est suffisant pour inventer le mythe du Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d'or.
Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l'or !
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7.b. Mythe de la pyramide de Khéops
À la fin de sa construction, la hauteur h de la pyramide de Khéops était OS = 146 m.
Le côté AB = 2 c mesure 232 m. À 1 % près, la hauteur de la
pyramide est égale à la moitié du côté multiplié par  .
On a  =  = d'où  = φ.
Les trois côtés du triangle SOH forment une suite géométrique de raison .
SOH est aussi improprement dit triangle égyptien.
Voir : cos et pentagone
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La moitié du côté de la base multipliée par le nombre d'or est égale à la hauteur des faces latérales de la pyramide. La demi-face SHA de la pyramide est la moitié d'un rectangle d'or de
longueur SH = a et de la largeur AH = c. Les faces latérales sont donc formées de deux demi-rectangles d'or.
Cela correspond à une valeur approchée de  pour π.
Mais cette valeur 3,144 est bien loin du de la valeur  ≈ 3,16 qu'ils utilisaient pour π (papyrus de Rhind).
Cette coïncidence est d'autant plus impossible que les « anciens Égyptiens » ne connaissaient pas le nombre d'or et que les outils mathématiques nécessaires pour le calculer n'apparaîtront à Babylone que 7 siècles plus tard.
Après l'échec de la quadrature du cercle, entre contre-vérités historiques et paranoïa, les mystiques des nombres se défoulent maintenant sur le nombre d'or.
(Photo Debart)
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Extrait de l'article nombre d'or et suites de Fibonacci et calculatrice TI-92
On a démontré ci-dessus que φ = est la solution positive de l'équation du second degré x2 = x + 1, soit φ2 = φ + 1.
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Multiplions par φ, successivement
les deux membres de ces égalités |
En additionnant deux égalités consécutives,
nous calculons les premières puissances de φ |
φ2 = φ + 1 |
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φ3 = φ2 + φ |
φ3 = (φ + 1) + φ = 2 φ + 1. |
φ4 = φ3 + φ2 |
φ4 = (2 φ + 1) + (φ + 1) = 3 φ + 2 |
φ5 = φ4 + φ3 |
φ5 = (3 φ + 2) + (2 φ + 1) = 5 φ + 3 |
φ6 = φ5 + φ4 |
φ6 = (5 φ + 3) + (3 φ + 2) = 8 φ + 5 |
φ7 = φ6 + φ5 |
φ7 = (8 φ + 5) + (5 φ + 3) = 13 φ + 8 |
φ8 = φ7 + φ6 |
φ8 = (13 φ + 8) + (8 φ + 5) = 21 φ + 13 |
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On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : φn = anφ + an−1
avec pour n > 0, an + 1 = an + an−1 et a0 = 0 ; a1 = 1. an est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
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8.b. Suites de pentagones et nombre d'or
Figures extraites de la page : pentagone et nombre d'or
Tous les pentagones réguliers sont semblables.
Le pentagone A1A2B2C2C1 est l'image du pentagone AA1B1C1C
par l'homothétie de centre O et de rapport φ (nombre d'or).
Les longueurs AA1, A1A2, A2A3, A3A4 sont égales aux puissances du nombre φ.
AA1 = 1, A1A2 = φ,
A2A3 = φ2 = φ + 1,
A3A4 = φ3 = 2 φ + 1…
Télécharger la figure GéoPlan pent_or2.g2w
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Paragraphe extrait de suites et TI-92
AA1 = 1, A1A2 = φ– 1,
A2A3 = φ– 2,
A3A4 = φ– 3…
Télécharger la figure GéoPlan penta_or.g2w
8.c. Puissances négatives de φ
On a aussi démontré ci-dessus que φ = 1 + donc = φ − 1 = .
Calculons les puissances négatives suivantes de φ :
φ– 2 = =  =  = 1 − = 1 − (φ − 1) = − φ + 2.
De même, φ– 3 =  =  =  = −1 +  = −1 + 2(φ − 1) = 2φ −3,
et φ– 4 =  =  =  =
2 −  = 2 − 3(φ − 1) = − 3φ + 5 et ainsi de suite.
On peut enfin démontrer par récurrence que l'on a : φ− n = bn−1φ + bn,
avec pour n > 0, bn+1 = − bn + bn−1 et b0 = 1 ; b1 = − 1 ;
bn = (−1)nan+1 est la suite de Fibonacci alternée : 1, −1, 2, −3, 5, −8, 13, −21, 34…
Voir : récurrence double - Fibonacci |
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Page no 127, créée le 24/11/2008
mise à jour le 8/4/2013
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Descartes et les Mathématiques
Sur tablette numérique ou smartphone,
= 
.
= 2 cos2 
= 
= 
.
