Le théorème de ThalèsLes mathématiques en quatrième et troisième : démonstration de Thalès par Euclide et dix exercices. | |
Sommaire1. Démonstration par Euclide avec la méthode des aires 3. Concours au centre de gravité 4. Quadrilatère et droites parallèles 5. Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère 7. Barrière - Deux échelles |
II. Réciproque du théorème de Thalès La Géométrie de Descartes (lycée) |
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Les théorèmes de Thalès![]() Thalès a vécu à Milet au VIe siècle avant J.-C. Mathématicien et philosophe grec de l'école ionienne, l'un des sept sages de la Grèce, il fut le premier à donner une explication rationnelle, et non mythologique, de l'univers, en faisant de l'eau l'élément premier. On attribue le premier raisonnement géométrique à Thalès : pour mesurer la hauteur d'une pyramide, il eut l'idée de mesurer la longueur de l'ombre de la pyramide sur le sol et la longueur de l'ombre d'un bâton. Il montrera que le rapport de la pyramide avec son ombre était le rapport que le bâton avec la sienne. | |
Deux grands théorèmes de géométrie lui sont attribués : – Notre théorème de géométrie affine étudié dans les classes de la quatrième à la seconde.
– On attribue plus sûrement à Thalès l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle, plus connue comme théorème de Thalès outre-Manche ou outre-Rhin que chez nous : Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. À cette occasion, d'après la légende, il sacrifia un bœuf. | |
en : Thales’ theorem : |
de : Satz des Thales : |
Extrait du programme de géométrie de 4e (2007)![]() Contenu Triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes.
Compétences exigibles Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si [MN] est parallèle à (BC), alors ![]() ![]() ![]()
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Commentaires L'égalité des trois rapports est admise après avoir été étudiée dans des cas particuliers de rapport. Elle s'étend au cas où M et N sont respectivement sur les demi-droites [AB) et [AC). Le cas où les points M et B sont de part et d'autre de A n'est pas étudié (configuration du papillon). Accompagnement des programmes de 4e (1998) En classe de 4e, on demande de façon plus systématique de repérer et de mettre en œuvre les théorèmes appropriés. Le recours, si besoin est, à plusieurs pas de démonstration amène à comprendre le changement de statut d'une assertion au fil d'une démonstration : un résultat intermédiaire est une conclusion dans un pas de démonstration et une hypothèse dans un pas ultérieur. |
![]() Par exemple, à propos des « triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes », l'étude d'un cas particulier de « l'égalité des rapports » (valeur On a coupé un des côtés d'un triangle ABC en trois segments de même longueur : Par I et K, on a mené les parallèles au côté [BC], qui coupent [AC] en J et L respectivement. À l'aide des résultats sur les milieux de deux côtés d'un triangle, on souhaite établir que le côté [AC] se trouve lui aussi coupé en trois régulièrement : On pourra remarquer que contrairement aux deux cas évoqués pour la classe de 5e, l'évidence « visuelle » du résultat ne fait ici guère de doute ; la question qui se pose est donc celle de l'établir au moyen des résultats déjà acquis. La première des deux égalités ci-dessus est simple à établir, dès que l'on a remarqué que I est le milieu de [AK]. Le second (dans l'ordre des programmes) théorème des milieux appliqué au triangle AKL permet alors de conclure. La seconde égalité est autrement plus difficile et il se peut très bien que dans une classe, l'idée du tracé d'un segment auxiliaire convenable, par exemple celui du segment [BJ], ne surgisse pas d'elle-même et doive être indiquée par le professeur. La mise en forme de la démonstration a tout son intérêt dans un cas comme dans l'autre. Notons M le point d'intersection des droites (BJ) et (KL). Le second (dans l'ordre des programmes) théorème des milieux appliqué au triangle BIJ permet de conclure que le point M est le milieu de [BJ]. Ce résultat acquis devient alors une hypothèse, qui permet à nouveau l'application du second théorème des milieux, cette fois au triangle JBC, pour conclure que L est le milieu de [IC]. Ainsi, deux pas de démonstration enchaînés ont conduit à la conclusion : JL = LC. Si l'on considère la même figure, mais maintenant avec les hypothèses que les côtés du triangle sont coupés en trois segments de même longueur : Mais on s'aperçoit que la démonstration suppose ici l'utilisation des deux théorèmes des milieux.
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1. Euclide : démonstration par la méthode des airesLes Éléments d'Euclide - livre VI - Proposition 2Méthode des aires : démonstration du théorème de Thalès utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ». 1.a. Thalès a découvert le théorème, mais c'est Euclide qui l'a prouvé. | |
Démonstration d'Euclide![]() Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires : ![]() ![]() | |
![]() Soit h’ = CI la hauteur en C des triangles AMC et ABC. On a : A(AMC) = AM × |
![]() Enfin h = BH la hauteur en B des triangles ABN et ABC. Les rapports des aires sont Conclusion :
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1.b. Calcul de ![]() Soit [AH] la hauteur en A du triangle ABC qui coupe (MN) en I. Or A(AHN) = On démontre, de même, que Un calcul sur les proportions
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1.c. Autre démonstration par les aires![]() On étudie l'égalité des aires des triangles MNB et MNC et on calcule de deux façons l'aire de AMN. (MN) est parallèle à (BC). Les triangles MNB et MNC ont même base [MN] et leurs hauteurs sont égales à la distance entre les deux parallèles. Leurs aires A(MNB) et A(MNC) sont égales (propriété du trapèze). Les triangles AMN et MNB ont pour hauteur commune [NH], où H est la projection de N sur le support des bases (AB). Leurs aires sont : Les triangles AMN et MNC ont pour hauteur commune [MI]. Le rapport de leurs aires est Ces deux rapports d'aires, avec un numérateur égal à A(AMN) et des dénominateurs A(MNB) et A(MNC) égaux, sont des rapports égaux :
En permutant les « moyens » De là, le calcul sur les proportions :
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2. Thalès et médiane![]() ABC est un triangle, [BB’] est une médiane. M est le point du segment [BC] tel que BM = En utilisant deux fois le théorème de Thalès, calculer les rapports Montrer, avec la réciproque de Thalès, que les droites (DE) et (BB’) sont parallèles.
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3. Concours au centre de gravité![]() Chacun des côtés d'un triangle ABC est partagé en trois segments de même longueur ; 1. Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est le milieu de [JM]. |
![]() Remarque : Il est aussi possible de montrer que KLNI est un parallélogramme.
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4. Quadrilatère et droites parallèlesMilieux de deux côtés![]() Un quadrilatère quelconque ABCD, I et J sont les milieux de deux côtés [AB] et [BC]. Par I et J nous menons des parallèles aux côtés (AD) et (CD). Les parallèles menées par I et J coupent [BD] en son milieu K. Ceci se démontre en utilisant deux fois le théorème des milieux.
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Partage proportionnel de deux côtés![]() Nous pouvons refaire une autre figure généralisant le problème : Ceci se démontre en utilisant deux fois Thalès.
Avec GéoPlan, chargez une des figures et vérifiez en bougeant l'un des sommets des quadrilatères. Remarque : par la réciproque de Thalès on montre comme dans l'exercice suivant que (IJ) est parallèle à (AC). |
5. Parallèle à une diagonale d'un quadrilatère![]() ABCD est un quadrilatère quelconque, Par K nous menons la parallèle à (BC) qui recoupe [AB] en J. Montrer que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles. Indication : en utilisant deux fois la propriété de Thalès nous pouvons montrer l'égalité des rapports Variante : I est le milieu du côté [DA]. Montrer que le point K est le milieu de [AC], que J est le milieu de [AB] et en déduire que (IJ) et (BD) sont parallèles.
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6. Moyennes géométriquesDans un triangle![]() Classe de 3e Dans un triangle ABC, D est un point du segment [AB]. En utilisant ces deux hypothèses l'une après l'autre, en écrivant les rapports de Thalès égaux, démontrer que l'on a : AD2 = AF × AB.
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Dans un angle![]() Classe de 2nde Soit A et B deux points sur une demi-droite [OX) et E un point sur [OY). Placer les points F sur [OY) et C sur [OX) tels que les droites (AE) et (BF) soient parallèles, ainsi que les droites (BE) et (CF). En écrivant des rapports de Thalès égaux, montrer que OB2 = OA × OC.
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7. Barrière![]() Un chemin bordé par deux murs [AA’] et [BB’], de hauteurs a et b est barré par deux chevrons en bois [AB’] et [BA’]. De quoi peut bien dépendre la hauteur h laissée libre ? |
Commandes GéoPlan Déplacer A’ ou B’ montre que h dépend certainement de a et b. Déplacer A ou B pour montrer que contrairement à ce que l'on pourrait penser, cette hauteur h ne dépend pas de la distance AB. Démonstration Les droites (A’A) et (IH) perpendiculaires à (AB) sont parallèles. A’H + HB’ est la plus courte distance de A’ à B’ en passant par la droite (AB)
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7.b. Deux échelles![]() Une échelle AB’ de 2 mètres et une échelle BA’ de 3 mètres se croisent à un mètre du sol dans un chemin bordé par deux murs. Déplacer le point B avec la souris ou les flèches du clavier jusqu'à ce que h soit égal à 1. Solution (TS) On a montré dans l'exercice ci-dessus que Si x est la largeur du chemin (0 < x < 2), d'après le théorème de Pythagore, Pour h = 1, la relation Une méthode numérique permet de résoudre cette équation.
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8. Constructions des inverses des naturelsPremiers inverses![]() Classe de seconde Dans un carré ABCD de côté 1, le point C1 placé en C a pour abscisse 1 dans le repère (D, C) de la droite (DC).
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Cas général : inverse de n![]() En répétant n fois ce processus, on obtient les points Bn et Cn tels que En reprenant les notations de l'exercice 7, on a : On a donc En classe de première on dira que l'on a démontré par récurrence la propriété :
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II. Réciproque du théorème de ThalèsHors programme du collège II.1. Cordes parallèles![]() Deux cercles (c1) et (c2) de rayons r et r’ ont même centre O. Deux droites (d1) et (d2), passant par ce centre O, coupent le premier cercle en A et B et le deuxième en C et D. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Le démontrer.
Oui, mais le contre-exemple de la figure de droite montre que c'est faux. Il faut préciser que les points O, A, C et O, B, D sont dans le même ordre sur les deux droites (d1) et (d2), ce qui n'est le cas que sur cette figure de droite. |
Faire une figure où ce n'est pas le cas : ![]()
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II.2. Petit théorème de PappusLa figure n'a pas encore été transférée de l'ancien site Orange ![]() Pappus d'Alexandrie (vers l'an 300) Placer un point O, Placer les points A et B sur la première demi-droite, D et E sur la deuxième demi-droite et tracer les segments [AE] et [BD], Déplacer les points variables A, B, D ou E sur les demi-droites. Que peut dire des droites (AD) et (CF) ? Théorème de Pappus : plan projectif Parallélogramme de Pappus : preuve par homothétie Démonstration par Pappus du théorème de Pythagore | |
II.3. Quadrilatère et parallèles![]() ABCD est un quadrilatère convexe. Montrer que la droite (EF) est parallèle à (CD). Indications Soit I le point d'intersection des diagonales. Sachant que (AE)//(BC), la propriété de Thalès dans les triangles IAE et ICB permet d'écrire l'égalité : En effectuant le quotient de ces deux égalités et après simplification de IA et IB, on trouve
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