Définition : un point est constructible à partir d'un ensemble E si je peux le construire d'une façon précise à partir de E, à la règle non graduée et au compas.
Plus précisément l'ensemble E1 des éléments constructibles, en une étape, à partir d'un ensemble E est formé par :
– les points de E,
– les points d'intersection des droites distinctes passant par deux points distincts de E,
– les points d'intersection des cercles distincts de centre un point de E, passant par un autre point de E,
– les points d'intersection des droites et des cercles définis ci-dessus.
De même, E2 est l'ensemble des éléments constructibles en une étape à partir de E1, E3 à partir de E2, et ainsi de suite.
Définition : un point M est constructible à partir de E, s'il existe un i tel que M appartienne à Ei (on peut construire M en i étapes).
Définition : on appelle point constructible du plan (euclidien), tout point constructible à partir de E = {O, I} où OI =1.
Application : montrons que le point J(0, 1) est constructible avec la construction de la médiatrice d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.) :
E1 contient le point I’, intersection de la droite (OI) et du cercle de centre O, passant par I.
E2 contient les points A et A’, intersections du cercle de centre I, passant par I’, et du cercle de centre I’, passant par I.
La médiatrice (AA’) de [II’] coupe le cercle de centre O, passant par I en J et J’, points de E3.
(O ; I ; J) est un repère orthonormé du plan euclidien.
La somme de deux nombres constructibles est constructible.
Soit a et b deux nombres constructibles ; A et B les points constructibles d'abscisses a et b. En traçant le cercle centre A et de rayon b le nombre a+b correspond au point constructible S si a est positif ; au point S’ s'il est négatif. a+b est donc constructible
L'opposé d'un nombre constructible est constructible.
Le produit de deux nombres constructibles est constructible.
La racine carrée d'un nombre constructible positif est constructible.
Voir : construction d'Euclide reprise par Descartes dans construction de réels en seconde.
Rappel : Un nombre est algébrique sur un corps K s'il existe un polynôme non nul, à coefficient dans K, s'annulant sur ce nombre.
Sur Q un nombre algébrique est solution d'une équation à coefficients entiers.
Pierre-Laurent Wantzel, mathématicien français, a montré en 1837 qu'un nombre constructible est algébrique sur Q et son degré est une puissance de 2.
La réciproque est très utile pour montrer qu'un nombre n'est pas constructible.
Le papyrus mathématique égyptien le mieux conservé est le papyrus Rhind, écrit par le scribe Ahmés vers 1650 avant J.-C. ; Rhind est le nom du premier propriétaire Écossais qui l'acheta à Louxor en 1857. Parmi quatre-vingt-sept problèmes, accompagnés de leurs solutions, on trouve la règle suivante pour la quadrature du cercle :
pour « construire un carré équivalant à un cercle… retirer au diamètre et construire le carré sur ce qui reste ».
Justifications
L'aire du disque de diamètre 1 est .
Cette aire du disque est voisine de celle de l'octogone ABCDEFGH.
Son aire, composée de cinq carrés et quatre demi-carrés,
est égale à 7 carrés soit 7 × = .
Ce nombre est voisin du carré , aire du carré de côté : (1 − )2 = .
Les Égyptiens utilisaient donc pour π la valeur de 4 × (1 − )2 = ≈ 3,16, avec une incertitude
relative de 6/1000 pour le calcul de π.
Définition : une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre.
Les quatre lunules
Au Ve siècle avant J.-C. Hippocrate de Chios est le premier à s'être intéressé aux quadratures.
Il n'a pas réussi pour le cercle, mais il prouva la « quadrature » des lunules.
Les quatre lunules hachurées en bleu sont les surfaces comprises entre le cercle de rayon r circonscrit au carré
ABCD et les demi-cercles ayant pour diamètre d les côtés du carré :
l'aire du carré ABCD est égale à la somme des quatre aires des lunules.
Duplication du carré : tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné.
Dans Ménon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-contre à un jeune esclave.
Duplication du cube : problème de Délos posé par les sophistes grecs au VIe siècle avant J.-C.
Construire un autel cubique, à la gloire d'Apollon, de volume deux fois plus grand que celui déjà présent dans le temple.
La duplication du cube n'est pas possible, car , solution de l'équation x3 = 2, n'est pas un nombre constructible.
Partager un angle quelconque en trois angles égaux.
Trouver la trisection d'un angle θ il faut trouver x tel que 3x = θ. On a : cos 3x = 4 cos3x - 3 cos x.
cos x = X est donc solution de l'équation cos θ = 4 X3 - 3 X.
La trisection revient à savoir si les solutions de cette équation sont constructibles.
D'après Wantzel, pour que la trisection soit possible, l'équation 4 X3 - 3 X - cos θ = 0 doit être réductible au second degré dans Q.
Par exemple, la trisection d'un angle de mesure θ = n'est pas possible :
cos(), solution de l'équation irréductible dans Q[X] : 4 X3 - 3 X - = 0, est algébrique sur Q de degré 3.
Ce qui montre, du même coup, l'impossibilité de construire à la « règle et au compas » l'ennéagone régulier (9 côtés), résultat prouvé en 1801 par Gauss.
Hippias d'Élis, philosophe sophiste grec, contemporain de Socrate né vers 460 avant J.-C., cherchant à résoudre le problème de la trisection de l'angle, inventa une courbe trisectrice permettant une solution approchée.
Le problème étant insoluble, la courbe permet de trouver des solutions approchées. La trisectrice est appelée plutôt la quadratrice de Dinostrate, car ce dernier l'utilisa pour résoudre la quadrature du cercle.
Le point K se déplace uniformément sur le segment [BC], son ordonnée est y avec 0 ≤ y ≤ 1,
le point E se déplace uniformément sur le quart de cercle BD, l'angle BÔE mesure 90y degrés, soit θ = y radians.
La droite horizontale (JK) coupe la droite (OE) en Q. La courbe décrite par Q est la quadratrice de Dionostrate.
Soit OK’ = OK/3 et OJ’ = OJ/3 correspondant à y/3. La droite horizontale (J'K’) coupe la quadratrice en Q’. La droite (OQ’) est alors une trisectrice de l'angle BÔE.
Dans le triangle OJQ rectangle en J, d'angle aigu OQJ = BOE = θ, on a y = OJ = OQ sin θ.
Avec OQ = ρ, comme θ = y, on a θ = ρ sin θ. L'équation polaire de la quadratrice est ρ = .
Le point B’ d'intersection de la quadratrice avec [OB] a pour abscisse . Ce point, non constructible, est obtenu avec une approximation théorique aussi grande que l'on veut.
Viète (1540-1603) calculera le premier produit infini des mathématiques :
Sur un cercle de centre O, on place deux points A et B tels que l'angle AÔB soit égal à 3α.
Soit C le point diamétralement opposé à A.
Placer sur le cercle le point D tel que la droite (BD) coupe (AC) en E de telle sorte que ED est égal au rayon du cercle.
Montrer que l'angle AEB est égal au tiers de l'angle AÔB : AEB = α.
Remarque : Le point E n'étant pas constructible à la « règle et au compas », GéoPlan ne peut le placer géométriquement.
Cliquer dans la figure et déplacer le point D avec la souris ou les flèches du clavier pour obtenir un point E sur (AC) : abscisse 0 lorsque (AC) est horizontale.
N'étant pas à une contradiction près, en supposant le problème résolu, taper S pour placer le point D exactement dans la figure.
Le tracé de trois cercles de même rayon permet de trouver les trisectrices (OC) et (OD) de l'angle droit AÔB.
Le double ou la moitié d'un angle trisectable est trisectable :
(OE) est la bissectrice de AÔB. AÔE est un angle de ,
(OC) est une des trisectrices de cet angle,
l'autre trisectrice est la bissectrice de AÔC.
On peut continuer avec la bissectrice de AÔE pour trouver, avec le compas, les trisectrices d'un angle de ,
et ainsi de suite les angles de la forme sont trisectables.
cos et sin sont donc constructibles. Voir calculs : angles trigonométrie
Télécharger la 
au diamètre et construire le carré sur ce qui reste ».
.
= 
.
, aire du carré de côté 
: (1 − 
≈ 3,16, avec une incertitude
relative de 6/1000 pour le calcul de π.
, solution de l'équation x3 = 2, n'est pas un nombre constructible.
n'est pas possible :
), solution de l'équation irréductible dans Q[X] : 4 X3 - 3 X - 
= 0, est algébrique sur Q de degré 3.
y radians.
.
. Ce point, non constructible, est obtenu avec une approximation théorique aussi grande que l'on veut.
,
sont trisectables.