Descartes et les Mathématiques

Géométrie du triangle III - Cercles remarquables

Théorème de Feuerbach, cercle et point d'Apollonius.

De jolies « babioles » des mathématiques de grand-papa, qui font le bonheur des amateurs de la géométrie du triangle.
Pour GéoPlan ce ne sont que des calculs, assez complexes, que l'on pourra bientôt écrire de façon automatique.
Bien que naguère négligée, la géométrie du triangle permet aux mathématiciens professionnels de faire le trait d'union entre le discret et le continu.

Ces géométries riches, enseignées en terminale jusqu'en 1960, ont été sacrifiée au profit de l'algèbre linéaire et des mathématiques discrètes, bien moins « s e x  y ».
Mais quoi de plus formateur que de s'approprier une figure géométrique et quelle joie lorsque l'on a fini de sécher sur un problème !

Inspiré de : quelques réflexions sur la géométrie et son enseignement –Daniel Perrin - Bulletin APMEP n^o 480 janvier-février 2009,

Pourquoi la géométrie – Jean-Pierre Kahane – Bulletin APMEP n^o 493 mars-avril 2011.

Voir aussi : quels contenus pour l'enseignement

1. Théorème de Feuerbach

Théorème : dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.

Comme son nom l'indique, ce théorème a été découvert en 1822 par Feuerbach (1800-1834), puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Les quatre points F_e, F₁, F₂ et F₃ de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach du triangle.

F_e est le point X(11) dans ETC.

Les trois points F₁, F₂ et F₃ de tangence aux cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle donné.

Le centre I du cercle inscrit dans le triangle ABC est l'orthocentre du triangle I₁I₂I₃ (acutangle : dont les trois angles sont aigus) formé par les points d'intersection des trois bissectrices extérieures. Ce triangle I₁I₂I₃, formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits, s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.

Figure interactive dans GeoGebraTube : théorème de Feuerbach

Théorème de Feuerbach - Publimath

1.2. Alignement du point de Feuerbach avec les centres

Le point de Feuerbach F_e, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ) ; I et J centres des cercles inscrit et d'Euler.

Preuve : la tangente commune aux deux cercles en F_e est perpendiculaire aux rayons IF_e et JF_e.

Figure interactive dans GeoGebraTube : point de Feuerbach - Alignement avec les centres

Figure exportée dans WikiPédia : Points de Feuerbach

Un quatrième point sur la droite des centres (IJ)

Soit S le point de concours des céviennes AF₁, BF₂ et CF₃. Alors le point S,  le centre I du cercle inscrit, le centre J du cercle d'Euler et le point de Feuerbach F_e sont alignés et en division harmonique.

Figure interactive dans GeoGebraTube : point de Feuerbach - Alignement de 4 points

Trois autres droites concourantes au point de Feuerbach

Soit O le centre du cercle circonscrit.
Les points de contact i_A, i_B, i_C du cercle inscrit avec les côtés du triangle ABC forme le triangle de contact i_Ai_Bi_C.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact, passent par le point de Feuerbach F_e.

Pour tracer la droite symétrique, placer le point double M_i intersection de la droite (IO) et du côté, puis trouver le symétrique d'un autre point, par exemple I.

Figure interactive dans GeoGebraTube : droites concourantes au point de Feuerbach

1.3. Le point de Feuerbach et les pieds des bissectrices sont cocycliques

Les pieds A₁, B₁ et C₁ des bissectrices intérieures du triangle ABC forment le triangle pédal A₁B₁C₁ du centre I du cercle inscrit.

Le cercle pédal, circonscrit au triangle pédal A₁B₁C₁, passe par le point de Feuerbach.

Figure interactive dans GeoGebraTube : point de Feuerbach et bissectrices

Figure exportée dans WikiPédia :Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

 Glossaire Publimath
Bissectrices

Cercles inscrits et théorème de Feuerbach dans le triangle rectangle

2. Milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits

D'après Michel Fréchet – Problème d'antan 4
Bulletin APMEP n^o 481, mars-avril 2009 

Les milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits sont sur le cercle circonscrit.

Application : construire un triangle connaissant ses trois bissectrices avec les centres de cercles exinscrits

Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures.
Leurs points d'intersection sont les centres I, I₁, I₂, I₃ des cercles inscrit et exinscrits, tangents aux trois côtés du triangle.

On note O₁ le milieu de [II₁], situé sur la bissectrice intérieure (AI), et les angles BAC = 2a, ABC = 2b et BCA = 2c.

I, centre du cercle inscrit, est à l'intersection des bissectrices intérieures (BI) et (CI).
I₁, centre d'un cercle exinscrit, est à l'intersection des bissectrices extérieures (BI₁) et (CI₁).
Les bissectrices intérieures et extérieures sont perpendiculaires, d'où les angles IBI₁ et ICI₁ sont droits. Le quadrilatère BICI₁ est inscriptible dans le cercle de diamètre [II₁] de centre O₁ passant par B et C.

Dans ce cercle, le double de l'angle inscrit II₁C est égal à l'angle au centre IO₁C, angle égal à AO₁C.
Le supplémentaire de la somme des angles aigus de IAC est l'angle :
I₁IC = a + c.
Dans le triangle rectangle I₁IC, l'angle II₁C est le complémentaire de I₁IC, d'où II₁C = – (a + c).

AO₁C = IO₁C = 2 II₁C = 2 { – (a + c)} = 2b car la somme 2(a + b + c) des angles du triangle ABC est égal à π. On a donc AO₁C = ABC, le point O₁ est situé sur le cercle circonscrit.

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Le milieu d'un segment joignant les centres de deux cercles exinscrits est situé sur le cercle circonscrit.

On note O₆ le milieu de [I₁I₂], situé sur la bissectrice extérieure passant par C. Les points C, I₁, I₂ et O₂ sont alignés sur cette bissectrice.

Comme précédemment, les angles I₁AI₂ et I₁BI₂ des bissectrices sont droits. Le quadrilatère I₁BAI₂ est inscriptible dans le cercle de diamètre [I₁I₂] de centre O₆ passant par A et B.

Dans ce cercle, en considérant l'angle inscrit AI₁I₂ et son angle au centre AO₆I₂, on a AO₆C = 2 AI₁I₂ = 2 { – (a + c)} = 2b.
On a donc AO₆C = ABC, le point O₆ est situé sur le cercle circonscrit.

3. Cercle et point d'Apollonius

Dans un triangle, les droites joignant respectivement les sommets aux trois points de contact du cercle d'Apollonius, tangent intérieurement aux cercles exinscrits, sont concourantes.
Le point de concours est le point d'Apollonius (point X(181) dans ETC).

Construction

Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures. Leurs points d'intersection extérieurs au triangle, situés à égale distance des trois côtés du triangle, sont les centres I₁, I₂, I₃ des cercles exinscrits (c₁), (c₂), (c₃), tangents aux trois côtés du triangle.

La construction des cercles tangents à trois cercles, du problème d'Apollonius, permet de construire le cercle d'Apollonius (c) :

Soit S₁, S₂ et S₃ les centres des homothéties positives échangeant les trois cercles : S₁ est l'intersection de (BC) et (I₂I₃), S₂ intersection de (AC) et (I₁I₃) et S₃ intersection de (AB) et (I₁I₂).

Étant donné un point M variable sur le cercle (c₃) construisons les points P intersection bien choisie de (c₁) avec (S₂M) et Q intersection de (c₂) avec (S₁M).

Le cercle circonscrit au triangle MPQ recoupe (c₃) en N. La droite (MN) est l'axe radical de MPQ et de (c₃). Elle coupe la ligne (S₁S₂) des centres d'homothétie en H.
Le point H est indépendant du point M ; la puissance du point H par rapport à (c₃) est aussi celle par rapport au cercle cherché (c).
La tangente commune à (c) et (c₃) passe par H.

Il suffit de trouver les points de tangence T et T’, intersection de (c₃) avec le cercle de diamètre [I₃H].

En traçant le point U intersection de (c₁) avec (S₂T) et le point S intersection de (c₂) avec (S₁T), on trouve le cercle (c) circonscrit à TUS.

De même, on trace U’ intersection de (c₁) avec (S₂T’), et S’ intersection de (c₂) avec (S₁T’).
T’, U’ et S’ sont les points de Feuerbach du triangle. T’U’S’ est le triangle de Feuerbach du triangle ABC.
Le cercle (c’) circonscrit à T’U’S’ n'est autre que le cercle d'Euler tangent aux trois cercles exinscrits. Ce résultat constitue le théorème de Feuerbach.

Les droites (AS), (BU) et (CT) sont concourantes au point d'Apollonius F.

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, I le centre du cercle inscrit dans ABC, Ω’ le centre du cercle (c’) d'Euler et Ω le centre du cercle (c).
Les droites (OI) et (ΩΩ’) sont parallèles et perpendiculaires à la ligne des centres d'homothétie (S₁S₂). Les points O, I et F sont alignés.

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À ne pas confondre avec le faisceau des cercles d'Apollonius d'un triangle

WikiPédia : Problème des contacts

4. Cercles de Tücker

Définition 1 : homothétie

Dans une homothétie de centre L, le point de Lemoine, de rapport k (k ≠ 1 et k ≠ 0), le triangle ABC a pour image A’B’C’.
Les côtés du triangle A’B’C’ rencontrent ceux du triangle ABC en six points.
Ces points cocycliques sont situés sur un cercle (T) dit de Tücker du triangle ABC.

Propriétés

Les milieux U, V, W des segments [MN], [PQ], [RS] sont situés sur les symédianes et forment un triangle UVW homothétique de ABC dans une homothétie de centre L.

Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Le centre Ω du cercle (T) est le milieu du segment [OO₂] formé par les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et A’B’C’.

Indications

Les milieux U, V, W des segments [MN], [PQ], [RS] sont situés sur les symédianes, les segments sont antiparallèles aux côtés opposés.
Voir : milieu d'une antiparallèle

Les droites (MN, CB) sont antiparallèles aux droites (AB, CA) :
(AB, MN) = (CB, CA).
Les droites (SR, CA) sont aussi antiparallèles aux droites (BC, BA) :
(BA, SR) = (CA, CB).
On en déduit que (BA, SR) = − (AB, MN).
Comme (AB) //(NR) on a : (BA, SR) = − (NR, MN).
Avec les points de l'hexagone MNPQRS on a (SM, SR) = (NM, NR).
Les points S, M, N, R n'étant pas alignés, cette égalité d'angles montre qu'ils sont cocycliques, situés sur un cercle (T).

Indications

De (BC)//(PS) et (MN) antiparallèle à (BC) on en déduit que (PS) est antiparallèle à (MN) par rapport à (MS) et (PN). (PS, PN) = (MS, MN).
P, S, M, N sont cocycliques, P appartient au cercle circonscrit à S, M, N : le cercle (T). On montre de même que (T) contient le point Q.

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Démonstrations : Sortais Yvonne et René
La géométrie du triangle – Hermann 1997

Construction d'une antiparallèle

ABC est un triangle de cercle circonscrit (Γ) de centre O.

Définition 2 : À partir d'un point M de (AB) distinct de A, mener la droite antiparallèle de (BC) par rapport à (AB, AC). C'est la parallèle à la tangente en A à (Γ), donc perpendiculaire à (AO). Elle coupe (AC) en N. La parallèle à (AB) passant par N coupe (BC) en R. Le cercle circonscrit au triangle MNR recoupe les côtés du triangle ABC en P, Q et S.

Nous obtenons une configuration de six points, situés sur un cercle de Tücker.

Propriétés

Les droites parallèles (AB) et (NR) coupent le cercle suivant deux cordes égales, d'où MN = SR.

(RS) antiparallèle à (AC) par rapport à (BA, BC) :

(RS, BA) = (RS, RN) car (BA)//(RN)
(RS, RN) = (MS, MN) = (AB, MN), angles inscrits de droites
(AB, MN) = (BC, AC) car les droites (MN), (BC) sont antiparallèles aux droites (AB), (AC).

On a donc (RS, BA) = (BC, AC) : les droites (RS), (AC) sont antiparallèles aux droites (BA), (BC).

(MQ) parallèle à (AC) :

(MQ, AC) = (MQ, MN) + (MN, AC)
(MQ, MN) = (RQ, RN) = (RQ, AB), angles inscrits de droites
(MN, AC) = (AB, BC) car les droites (MN), (BC) sont antiparallèles aux droites (AB), (AC)
(MQ, AC) = (RQ, AB) + (AB, BC) = (RQ, BC) = 0.

(MQ) // (AC). Ces parallèles coupent le cercle suivant deux cordes égales, d'où MN = PQ et MN = PQ = SR.

De l'égalité PQ = SR il résulte le parallélisme de (BC) et (SP).

Un calcul d'angles analogue au premier calcul permet de déduire que (PQ) est antiparallèle à (AC) par rapport à (BA, BC).

Conclusions

Les six points jouent des rôles analogues. Par chaque point on mène deux droites : l'une parallèle à la tangente à (Γ) en l'un des sommets du côté qui le porte, et l'autre parallèle à l'autre côté issu de ce sommet.

Par tout point d'un côté distinct des sommets passe deux cercles de Tücker obtenus en considérant les deux tangentes à (Γ) aux deux sommets des côtés qui le porte.

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Triangle tangentiel à UVW

Les points U₁, U₂ et U₃, intersections des droites (PQ), (RS) et (MN), sont situés sur les symédianes.

Le triangle U₁U₂U₃ est le triangle tangentiel de UVW, il est homothétique du triangle tangentiel T₁T₂T₃ de ABC, dans une homothétie de centre L.

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Voir : Symédianes

Autre construction du cercle à partir de M et N

À partir d'un point M de (AB) distinct de A, mener la parallèle à la tangente en A à (Γ). Elle coupe (AC) en N.
Construire les points U₂ et U₃, intersection de (MN) avec les symédianes (CL) et (BL). Tracer les droites (RS) et (PQ) parallèles aux tangentes à (Γ) en B et C et trouver les quatre autres points du cercle.

Construction de trois antiparallèles de longueur égale

Définition 3 : Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Cette propriété peut être prise comme définition en déterminant trois segments [MN], [PQ], [RS] de longueur égale et parallèles aux tangentes en A, B, C au cercle circonscrit.

Construction

À partir d'un point M de (AB) distinct de A, mener la parallèle à la tangente en A à (Γ), donc perpendiculaire à (AO). Elle coupe (AC) en N. Reporter la longueur MN sur la tangente en B à (Γ) en R₁ et R₂, sur la tangente en C en Q₁ et Q₂. La parallèle à (AB) passant par R₁ coupe (BC) en R, la parallèle à (BC) passant par R₂ coupe (AB) en S. La parallèle à (AC) passant par Q₁ coupe (BC) en Q et la parallèle à (BC) passant par Q₂ coupe (AC) en P.

Nous obtenons une configuration de six points, ces points sont cocycliques et situés sur un cercle de Tücker.

Justification

La parallèle à (AB) passant par N coupe la tangente en B à (Γ) en R₁ et (BC) en R. Par parallélisme, le cercle circonscrit au triangle MNR recoupe les côtés du triangle ABC en P, Q et S. Comme on l'a vu dans la définition 2, c'est un cercle de Tücker.

[MN] étant construit, il peut être délicat de choisir, à partir de B, la direction vers R₁ ou R₂ pour placer R.
Ce n'est pas un problème pour GéoPlan.

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Milieux des cordes, construction à partir d'un centre donné

Les milieux forment un triangle UVW se déduisant de ABC dans une homothétie de centre L de rapport t avec |t| = LU/LA. Dans cette homothétie, le point O a pour image Ω avec LΩ/LO = |t|. Ce point Ω est le centre du cercle circonscrit à UVW. La droite (UΩ) parallèle à (OA) est perpendiculaire à (MN), c'est la médiatrice de [MN]. De même, la droite (VΩ) est la médiatrice de [PQ]. Le point Ω est bien le centre du cercle de Tücker (T).

Un cercle de Tücker est caractérisé par son centre Ω situé sur (OL), distinct de O et de L.

Construction

La parallèle à (OA) passant par Ω coupe (LA) en U.

M et N sont situés sur la perpendiculaire en U à (OA) et on complète R par parallélisme pour tracer le cercle circonscrit à MNR.

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Deux cercles de Tücker

|t| = LU/LA.

En prolongeant les côtés du triangle U’V’W’ jusqu'à ceux du triangle ABC, nous obtenons un deuxième cercle de Tücker passant par M’N’P’Q’R’S’.

En prenant les milieux des cordes [M’N’], [P’Q’], [R’S’], le triangle U’V’W’ est homothétique du triangle ABC dans une homothétie de centre L de rapport t’ :
|t’| = LU’/LA = |(t+1)/2| (en effet, le point U’ est le milieu de [UA]).

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Autres propriétés de la figure

PR = QS, MP = NQ, NS = MR.

Les triangles NQS et MPR sont directement semblables à ABC.

WikiPédia : cercles de Tücker

5. Cercles de Lemoine

Deux cas particuliers de cercles de Tücker :

Premier cercle de Lemoine

Lemoine Émile, 1840-1912
mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle,
Tücker Robert 1832-1905

Les parallèles aux côtés d'un triangle menées par le point de Lemoine coupent les côtés en six points, cocycliques.
Le centre O’ est le milieu de [OL] où O est le centre du cercle circonscrit.
Les droites (RQ), (ST) et (PU) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle. Les segments sont de même longueur et leurs milieux A’, B’ et C’ situés sur les symédianes forment un triangle A’B’C’ homothétique du triangle ABC dans une homothétie de centre L.
L'hexagone PQRSTU est dit hexagone de Lemoine.

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Deuxième cercle de Lemoine

Les antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC, menées par le point de Lemoine L, coupent les côtés du triangle en six points cocycliques.
Ces points sont situés sur le deuxième cercle de Lemoine centré en L.

Les points d'intersection A’, B’, C’ des droites (RQ), (ST) et (PU) sont situés sur les symédianes.

Ils forment un triangle A’B’C’ symétrique du triangle ABC dans une symétrie de centre L.

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Autre cercle de Tücker : cercle de Taylor

WikiPédia : cercles de Lemoine