Descartes et les Mathématiques Maxima - MinimaAncienne classe de 1ère S De nombreuses situations menant à des problèmes d'optimisation : | |
Sommaire1. Aire minimum de deux demi-disques 3. Aire maximum de deux lunules 4. Le quadrilatère qui tourne 5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle 6. Aire et périmètre d'un triangle isocèle, inscrit dans un cercle 7. Fonction définie par une aire 8. Deux cercles tangents, tangents à l'intérieur d'un carré 9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle |
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Pliage du coin d'une feuille - Olympiades 2004 Longueur minimum en 3e Épreuve pratique 2007 : – Partage d'un triangle en deux polygones de même aire Maximum faisant intervenir une parabole : analyse en 1L | |
Technique GéoPlan : dans les exercices de cette page est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction. | |
1. Aire minimum de deux demi-disquesOn considère la figure suivante : (C) est un cercle de centre O et de rayon 1, [AB] est un diamètre. Indication Le problème est posé dans le cadre géométrique. En appelant x le rayon d'un des demi-cercles, l'aire de la partie hachurée est égale à : Technique GéoPlan Dans chacun de mes exemples, déplacer le point variable de la fenêtre de gauche avec la souris ou les flèches du clavier. La touche T permet le Tracé point par point du graphe de la fonction, Télécharger la figure GéoPlan min_lunules.g2w | |
2. Arbelos d'ArchimèdeArbelos d'Archimède, tricercle de Mohr ; tranchet du cordonnier ou couteau du savetier : domaine compris entre trois demi-cercles tangents deux à deux 2.a. Aire de l'arbelosOn considère un arbelos formé par un demi-cercle de diamètre AB = 5, M étant un point du segment [AB], les deux demi-cercles de diamètres [AM] et [MB]. On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point variable du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB]. Télécharger la figure GéoPlan arbelos.g2w | |
Si AM = x et AB = 5, l'aire de l'arbelos est π × AM × MB = πx (5 – x), La perpendiculaire à [AB] au point M coupe le grand demi-cercle au point C. (CM) est la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC ; MC est moyenne géométrique des projections des petits côtés sur l'hypoténuse : Le cercle (c), de diamètre [MC], a la même aire que celle de l'arbelos : π × MC2. Télécharger la figure GéoPlan arbelos2.g2w |
2.b. Cercles d'Archimèdeen : Archimedes’ circles Les cercles jumeaux d'Archimède (c) et (c’) sont deux cercles inscrits dans l'arbelos, simultanément tangents à la droite (MC), au demi-cercle de diamètre [AB], au demi-cercle de diamètre [AM] pour (c) et au demi-cercle de diamètre [BM] pour (c’). Ces deux cercles ont même diamètre d = = , si AB = 5 (calcul d'Archimède, à l'aide des diamètres des trois demi-cercles formant l'arbelos, dans le livre des lemmes). La ligne des centres (OO’) coupe, à l'extérieur de [OO’], le cercle (c) en D et le cercle (c’) en E. Son aire π × DE2 est la même aire que π × MC2, celle de l'arbelos, car DE = OO’ + d = MC. (Ces constructions sont analytiques, il manque une preuve synthétique) Télécharger la figure GéoPlan arbelos3.g2w |
3. Aire maximum de deux lunules d'Hippocrate de ChiosTrouver la position du point A où la somme des aires des deux lunules est maximum. Le point M a pour coordonnées x et a1 où x est la mesure de l'angle ACB en radians et a1 l'aire des lunules. Remarque : d'après le théorème des deux lunules, la somme des aires des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle ABC. Télécharger la figure GéoPlan max_lunules.g2w | |
4. Le quadrilatère qui tourne | |
Quadrilatère variable inscrit dans un rectangleABCD est un rectangle de longueur a = 9 et de largeur b = 6. – Où faut-il placer M pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit la plus petite possible ? |
Variante : carré variable inscrit dans un carréABCD est un carré. – Montrer que MNPQ est un carré. |
Classe de première S L'objectif de cette activité est d'introduire l'outil fonction sous sa forme algébrique : lorsque l'on déplace le point M sur [AB] étudier les variations de l'aire du parallélogramme y = A(x) de MNPQ. Dans le cadre de droite est représenté le point S(x, y) permettant d'étudier l'aire y du parallélogramme. |
Exercice sur la forme canonique de l'équation du second degré : Leçons de mathématiques à l'oral du CAPES Suzette Rousset-Bert - Petit x no 56 - IREM de Grenoble - 2001 |
Aire d'un quadrilatère dans un rectangleSi a = 9 et b = 6 l'aire du quadrilatère MNPQ est égale à l'aire du rectangle ABCD moins l'aire des quatre triangles rectangles de côté x et a–x ou b–x. On a donc : A(x) = 2x2 – 15 x + 54 Dans le cas général on a : A(x) = 2x2 – (a + b) x + ab Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere_tourne.g2w | |
Aire du parallélogramme variable et d'un rectangleSi 0 < x < b/2 ou a/2 < x < b l'aire du parallélogramme MNPQ est égale à la somme de l'aire B(x) du petit rectangle contenu dans la figure et l'aire (a + b) x – 2x2 des quatre triangles rectangles. Vérifier que le minimum de l'aire du parallélogramme bleu est atteint lorsque le petit rectangle rouge est un carré. Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere_tourne_2.g2w Problème repris dans la page : nosdevoirs.fr | |
5. Rectangle inscrit dans un quart de cercleAire maximale d'un rectangle dans un quart de cercleDe tous les quadrilatères de périmètre donné, celui qui a l'aire maximum est le carré. Énoncé AB est le « quart de cercle » situé sur le cercle de centre O et de rayon 7. ONMP est un rectangle de diagonale [OM], les côtés [OA] et [OB] sont situés sur les axes (OA) et (OB). Indication x = ON, y = OP ; OM2 = ON2 + OP2 = x2 + y2
= 72 donc y2 = 49 – x2 soit y = . Cette aire est maximale lorsque x = 7≈ 4,95 (voir étude de la fonction paragraphe suivant). Lorsque le point M est variable sur le segment [AB], on trouve une parabole : voir analyse en 1L. Télécharger la figure GéoPlan max_rectangle.g2w Périmètre maximal d'un rectangle dans un quart de cercleClasse de 2nde Où doit être situé le point M sur cet arc pour que le périmètre du rectangle ONMP soit maximal ? Télécharger la figure GéoPlan max_rectangle_peri.g2w Variante ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2005 - Sujet 30 Soit C un cercle de rayon 4 cm. | |
6.a. Aire maximum d'un triangle inscrit dans un cerclePour tout triangle inscrit dans un cercle et non équilatéral, il existe un triangle isocèle inscrit dans le cercle, d'aire strictement plus grande. Démonstration : si ABC est un triangle inscrit tel que AB ≠ AC. Soit A’ le milieu de l'arc BC contenant A. Corollaire : les triangles inscrits dans un cercle d'aire maximale (s'ils existent) sont les triangles équilatéraux. Triangle isocèle inscrit dans un cercleSolution graphique de ce problème d'optimisation géométrique : pour démontrer, il est possible de se restreindre à l'ensemble des triangles isocèle. Classe de première S Données : le triangle ABC, isocèle au sommet A, est inscrit dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1. Trouver le triangle inscrit d'aire maximaleH est un point variable du diamètre [AJ] du cercle (c). La perpendiculaire en H à (AO) coupe le cercle en B et C. Le triangle isocèle ABC est inscrit dans le cercle (c). Soit x = AH, la longueur de la hauteur en A du triangle ABC, variant de 0 à 2. L'aire y du triangle ABC est représentée dans le cadre de droite par le point S(x, y). En déplaçant le point H, on peut conjecturer que l'aire est maximale pour x = et ABC est un triangle équilatéral. Télécharger la figure GéoPlan max_triangle.g2w | |
Indications Le cercle (c) ensemble des points B tels que BO2 = (x – 1)2 + y2 = 1, 16x4 – 32x3 + 27 = (2x – 3)2 (4x2 + 4x + 3) est positif pour x appartenant à [0, 2]. | |
6.b. Triangle inscrit dans un cercle de périmètre maximalTerminale S - ÉduSCOL - Épreuve pratique 2007 - Sujet 027 Le triangle ABC, isocèle de sommet A est inscrit dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1. Soit x = AH et y représente dans cette deuxième figure le périmètre du triangle ABC. Dans le cadre de droite est représenté le point P(x, y). En déplaçant le point H, on peut conjecturer que le périmètre est maximal pour la même valeur x = . et ABC est encore un triangle équilatéral. Télécharger la figure GéoPlan max_triangle1.g2w Utilisation du logiciel GéoPlan Sur une même figure, dans le cadre de droite sont représentés simultanément les points S(x, y) et P(x, z) où y est l'aire du triangle ABC et z est le périmètre du triangle ABC. L'intérêt est de suivre simultanément les positions correspondantes de S et P et de montrer que le maximum de chaque fonction est atteint pour la même valeur de x. Télécharger la figure GéoPlan max_triangle2.g2w Il est aussi possible d'étudier les variations en fonction de x = BC : télécharger la figure GéoPlan max_triangle3.g2w et vérifier que l'aire et le périmètre sont maximums lorsque ABC est un triangle équilatéral. | |
6.c. Triangle d'aire donnée et de périmètre minimumLa méthode pour résoudre ce problème est voisine de celle utilisée pour le problème 6.a. : Corollaire : les triangles d'aire donnée et de périmètre minimal (s'ils existent) sont les triangles équilatéraux. Trouver le triangle isocèle de périmètre minimal.Données : le triangle ABC, isocèle au sommet A, a pour aire s. Soit x = AH, la longueur de la hauteur en A du triangle ABC, variant de 0 à 2. Dans un repère d'origine H, A pour coordonnées (x, 0), B(0, 2s/x) et C(0, - 2s/x). Le périmètre y = 2 AB + BC du triangle ABC est représentée dans le cadre de droite par le point P(x, y). En déplaçant le point A, on peut conjecturer que le périmètre est minimum lorsque ABC est un triangle équilatéral. Télécharger la figure GéoPlan max_perim_triangle.g2w | |
6.d. Triangle de périmètre donné et d'aire maximumDe tous les triangles de périmètre donné, et dont un côté a une longueur donnée, celui qui a l'aire maximum est le triangle isocèle qui a pour base ce côté. | |
7. Fonction définie par une aireÉnoncé (Première S) Dans la figure ci-dessous AB = 8, AI = 2. [Ax) et [Bx’) deux demi-droites perpendiculaires à [AB]. M est un point variable sur [Ax) et N est le point [Bx’) tel que le triangle MIN est rectangle en I. Soit x = AM et y = A(x) l'aire du triangle. Résolution du problème On se propose de faire une étude algébrique du comportement de A(x) lorsque M décrit [Ax). Montrer que les côtés des triangles MAI et IBN sont proportionnels. En déduire que A(x) = et étudier la fonction. Télécharger la figure GéoPlan fct_aire_triangle.g2w | |
8. Deux cercles tangents, tangents à un carréOlympiades Poitiers 2002 Énoncé Soit un carré ABCD de côté a. Un cercle (c) intérieur au carré est tangent à (AB) et (AD). Un cercle (c’), intérieur au carré est tangent extérieurement à (c) ainsi qu'aux droites (CB) et (CD). Soit S la somme des aires des cercles (c) et (c’). Quelles sont les valeurs maximales et minimales de S ? | |
Indication Les centres O et O’ des cercles étant à égale distance des côtés, ils sont situés sur la diagonale [AC] du carré. Les rayons r et r’ des cercles vérifient :
Les cercles étant situés à l'intérieur d'un carré de côté a, leurs rayons restent inférieurs à . La somme des aires des deux cercles est : S = π(r2 + r’2) = [(r + r’)2 – (r – r’)2] = [(6 – 4) a2 – (r – r’)2] On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand Et l'aire est maximale quand r est maximal et r’ minimal (ou inversement), On obtient alors Smax = [(6 – 4)a2 – (–1 + )2a2] = (9 – 6)a2. Télécharger la figure GéoPlan deux_cercles.g2w |
Sujet repris à Bordeaux, aux olympiades 2008 Variante : classe de seconde Résoudre avec l'algèbre un problème de géométrie. Dans un carré de côté 4 cm, comme ci-dessus, inscrire deux cercles centrés sur la diagonale, tels que le rayon de l'un soit le double du rayon de l'autre. Indication : comme ci-dessus : r + 2r = a (2 – ), soit r = (2 – ). Voir aussi : remplir un carré avec deux cercles de même rayon |
9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangleClasse de seconde ABC est un triangle rectangle et isocèle en C tel que AB = 10. 1) Exprimer les longueurs MN et MQ en fonction de x. Quelles sont les positions du point M pour lesquelles la longueur du rectangle est le double de la largeur ? Télécharger la figure GéoPlan rct_ds_triangle.g2w Voir aussi : aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle | |
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