Euclide et GéoPlan - Figures interactives

Les Éléments d'Euclide

Euclide avec un compas L'école d'Athènes, selon Raphaël (Détail - chambre de la Signature, Vatican)	Le texte original des Éléments d'Euclide n'existe pas et nous est connu que de façon apocryphe. Dans la bibliothèque du Vatican, joint au manuscrit découvert par Peyrard, on aurait découvert un CD contenant des figures GéoPlan que nous livrons en exclusivité ci-dessous.
Euclide par Juste de Gand (15e siècle)	Les Éléments d'Euclide (Alexandrie 300 avant Jésus-Christ) Les treize livres d'Euclide constituent une synthèse remarquable des mathématiques grecques. Ils ont fondé la méthode synthétique qui, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, permet de déduire la propriété cherchée. Toutes les constructions s'y effectuent uniquement à la « règle et au compas ».

Parallèle à une droite passant par un point donné

Proposition 31 du livre I des Éléments : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.

L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».

1. Triangle équilatéral

Proposition 1 du I^er livre des Éléments d'Euclide :
Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.

EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un segment [AB]).

DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.

CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ACD (demande 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence BCE; et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1).

DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15) ; de plus, puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB; donc chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles.

CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

Rappels

Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.

Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

Construction avec un logiciel de géométrie :
Placer deux points A et B et tracer le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB (cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A),
tracer C, un des points d'intersection des deux cercles,
tracer les segments [BC] et [AC].

Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle équilatéral

Retrouver ce paragraphe dans : le triangle équilatéral

2. Reproduire un angle

Les figures n'ont pas encore été transférées de l'ancien site Orange

Eudéme, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (V^e siécle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné ».

Reproduire un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I :

Soit deux points O, I et un point A,
Soit deux demi-droites [OA) et [OB₁) ayant pour origine le point O et une demi-droite [IC₁) d'origine I.

Pour reporter l'angle d'origine O, tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe la droite (OB₁) en B et B₂, choisir pour B le point sur le deuxième côté [OB₁) de l'angle.

Nommer r la longueur OA et tracer le cercle de centre I et de rayon r.
Nommer C et C₂ les intersections de ce cercle avec la droite (IC₁), choisir pour C le point sur la demi-droite [IC₁).

Nommer d la longueur AB et tracer le cercle de centre C et de rayon d. Nommer D et D₁ les intersections des deux derniers cercles. Tracer la demi-droite [ID).

Les angles AÔB et CÎD sont égaux.

Voir : Cabri-géomètre en sixième

3. Arithmétique : algorithme d'Euclide

Voir : TP d'arithmétique en troisième avec Excel

4. Thalès : démonstration par la méthode des aires

Thalès a découvert le théorème, mais c'est Euclide qui l'a prouvé.

GéoPlan : cliquer dans la figure du milieu ou celle de droite et taper T pour visualiser les aires des triangles BMC ou BNC.

Télécharger les figures GéoPlan thales_demo_1.g2w, thales_demo_2.g2w, thales_demo_3.g2w

Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires A(AMC) = A(ABN).
En divisant les deux termes de cette égalité par A(ABC) on a : = .

Soit h’ = CI la hauteur en C des triangles AMC et ABC. On a : A(AMC) = AM × et A(ABC) = AB × ,
et h = BH la hauteur en B des triangles ABN et ABC. On a : A(ABN) = AM × et A(ABC) = AC × .

Les rapports des aires sont = = et = = .

Conclusion : = .

Calcul de

Soit [AH] la hauteur en A de ABC qui coupe (MN) en I.
Dans les triangles rectangles ABH et AHC la propriété de Thalès permet d'écrire = = .
Les triangles INH et INC ont la même aire, car le côté [IN] est commun et les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun. En ajoutant l'aire du triangle AIN on a : A(AHN) = A(AIC).

Or A(AHN) = × AH × IN et A(AIC) = × AI × HC soit AH × IN = AI × HC d'où = .

On démontre, de même, que = .

Un calcul sur les proportions = = = = permet de conclure que : = = .

Voir : propriété de Thalès

5. Démonstration géométrique de Pythagore

Dans les triangles rectangles, le carré du côté opposé à l'angle droit est égal aux carrés des côtés de l'angle droit.

Figure dite du moulin à vent : construction de trois carrés OEFB, OADC et ABGH de côtés a, b et c à l'extérieur du triangle BOA.
Dans le cas particulier où le triangle BOA est rectangle en O, on retrouve les démonstrations de la propriété de Pythagore basées sur l'équivalence des figures : La somme des aires des petits carrés est égale à celle du grand carré :
a² + b² = c².

La démonstration la plus ancienne qui soit connue du théorème du carré de l'hypoténuse est celle qui est contenue dans les Éléments (livre I proposition 47) et qui d'après Proclus (412-485) serait effectivement due au géomètre alexandrin (III^e siècle avant J.-C.).

Par O menons (OR) parallèle à (BG) et traçons [OG] et [FA].

Les triangles OBG et FBA sont égaux : FBA est l'image de OBG par la rotation de centre B et d'angle (On peut aussi vérifier que les petits côtés sont égaux à a et c, puis que les angles obtus en B sont égaux à l'angle ABO plus ).

Les triangles FBA et FBO ont même aire, égale à la moitié du produit de la base FB par la hauteur OB.
Donc, 2 Aire(FBA) = FB × OB = a².
L'aire du triangle OBG est égale à la moitié du produit de la base BG par la hauteur BJ. Donc, 2 Aire(OBG) = BG × BJ = Aire(BGRJ).
D'où Aire(BGRJ) = a².

De même, l'étude des triangles égaux OAH et DAB permet de montrer que :
Aire(AHRJ) = b².

La somme des aires des deux rectangles précédents BGRJ et AHRJ étant égale à c², aire du carré ABGH, Euclide démontre bien la propriété de Pythagore :
a² + b² = c².

La rotation de centre B et d'angle permet de prouver que les droites (OG) et (AF) sont orthogonales. De même, les droites (OH) et (BD) sont orthogonales.

Voir : Démonstrations géométriques de Pythagore
Figure de Vecten
Somme de deux carrés : carré au collège

6. Moyenne proportionnelle

Méthode reprise par Descartes

Le terme « droite » désigne dans les Éléments ce que nous appelons « segment ».

Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.

Livre VI, proportion 13

Soit AB, BC, les deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AB, BC.

Plaçons ces deux droites dans la même direction, et sur la droite AC décrivons le demi-cercle ADC. Du point B menons BD perpendiculaire à AC et joignons AD, DC.

Puisque l'angle ADC est dans un demi-cercle, cet angle est droit. Et puisque dans le triangle rectangle ADC on a mené de l'angle droit la droite DB perpendiculaire à la base, la droite DB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, BC de la base.

Donc, les deux droites AB, BC étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle DB, ce qu'il fallait faire.

Construction de réels
La Géométrie de Descartes

7. Constructions de tangentes

Classe de troisième

Tangentes à un cercle passant par un point donné

D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; elles touchent le cercle en A et B et on a : MA = MB.
La droite (OM) est un axe de symétrie de la figure.

Construction d'Euclide

Étant donné un cercle (c) de centre O et un point M à l'extérieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diamètre [MO].

Paragraphe extrait de la page cercle au collège

8. Partage d'un rectangle en quatre

Livre I, proposition 43
Classe de quatrième

M est un point libre sur la diagonale [AC] d'un rectangle ABCD.

Démontrer que les aires des deux rectangles hachurés sont égales.

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un rectangle, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point M avec la souris ou les flèches du clavier.

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AMI et CMJ permet d'écrire : = .

(AD) étant parallèle à (BC), avec la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM on a : = .

Par transitivité = .

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : KM × MI = LM × MJ.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).

Cas de parallélogrammes : calcul d'aires