Descartes et les Mathématiques Calcul d'aires de pentagones par découpageAires de pentagones - Figures réalisées avec un logiciel de géométrie dynamique. | |
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Sommaire1. Transformation d'un quadrilatère en un triangle 2. Transformation d'un polygone convexe en triangle 3. Aire d'un pentagone convexe 4. Aire d'un pentagone régulier Autres aires : octogone, couronne 5. Carrés et octogone construits à l'intérieur d'un carré 6. Couronne Dans d'autres pages du site | Dans d'autres pages du site Démonstrations avec la méthode des aires : théorème de Pythagore Multiplication par 7 de l'aire d'un triangle : triangles en seconde Carré d'aire cinq fois plus petite Calcul d'aires dans un rectangle : aire en seconde Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme Diviser l'aire d'un trapèze en quatre parties égales Calcul d'aire minimum au lycée : Analyse en option 1ère L - TL Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes |
Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires. | |
1. Transformer un quadrilatère en triangleFélix Klein - Problèmes célèbres de la géométrie élémentaire Classe de 3e Transformation d'un quadrilatère convexe ABCD en triangle AB’D de même aire. On sait transformer le triangle ABC en AB’C où B’ est l'intersection du côté (CD) et de la parallèle à la diagonale (AC) passant par B. Par la propriété du trapèze, le triangle ABC a même aire que le triangle AB’C. En ajoutant l'aire de ACD, le quadrilatère ABCD a même aire que le triangle AB’D. Télécharger la figure GéoPlan aire_quadrilatere.g2w | |
2. Transformer un polygone en triangleTransformation d'un polygone convexe en un triangle de même aire Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3) en un polygone de n − 1 côtés de même aire. Aire d'un hexagone : transformation d'un hexagone en pentagone La parallèle à (AE) passant par F coupe (DE) en E’. Télécharger la figure GéoPlan aire_hexagone2.g2w |
Aire d'un pentagone : transformation d'un pentagone en quadrilatère La parallèle à (AD) passant par E’ coupe (CD) en D’. Télécharger la figure GéoPlan aire_hexagone3.g2w Voir : calculer l'aire d'un hexagone régulier |
Aire d'un quadrilatère : transformation d'un quadrilatère en triangle Comme ci-dessus, la parallèle à (AC) passant par D’ coupe (DE) en E’. |
Surface d'un hexagone L'hexagone ABCDEF a même aire que le triangle ABC’. L'hexagone ABCDEF, le pentagone ABCDE’, le quadrilatère ABCD’ ont même aire que le triangle ABC’. Télécharger la figure GéoPlan aire_hexagone5.g2w En utilisant la construction du rectangle de même aire que le triangle ABC’, il est possible de changer l'hexagone en rectangle ; voire transformer l'hexagone en carré avec la quadrature du rectangle. |
3. Aire d'un pentagone (papillons)Transformation du pentagone convexe ABCDE en un triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon. ABCDE est un pentagone (convexe). L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ. Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE. Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et même hauteur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire. Remarque 1 : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon). Remarque 2 : dans GéoPlan il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone. Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone.g2w | |
4. Aire d'un pentagone régulier4.a. Transformation de la surface du pentagone en triangle.Classe de troisième Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces. En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone. Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI. L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG. Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone_regulier.g2w Pentagone régulier : | |
4.b. Transformation d'un pentagone en parallélogrammeM est le milieu de la diagonale [BE]. Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°). Avec ce puzzle de trois pièces, à partir du pentagone ABCDE, il est possible de reconstituer un parallélogramme EFKD. Télécharger la figure GéoPlan pentagone_vers_parallelogramme.g2w Bibliographie : groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques : |
4.c. Transformation d'un pentagone régulier en carréReprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré. En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en PJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un carré de même aire que celle du pentagone. Télécharger la figure GéoPlan pentagone_vers_carre.g2w |
4.d. Quadrature du pentagoneCôté du carré de même aire Pour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes). Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK. Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré de même aire. Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN). | |
5. Parallélogrammes et octogone dans un parallélogrammeSoit ABCD un parallélogramme et I, J, K et L les milieux des côtés. On trace les segments joignant les sommets aux milieux des autres côtés. Au centre apparaissent parallélogrammes et octogone. Cette propriété étant affine, on peut déplacer les sommets B et D pour transformer ABCD en un carré, ce qui permet de faciliter les conclusions. Deux carrés d'aire cinq fois plus petite…PQRS est un carré d'aire 5 fois plus petite que l'aire du carré ABCD. Figure interactive dans GeoGebraTube : deux carrés d'aire cinq fois plus petite |
Octogone d'aire six fois plus petite…EFGHMNOT est un octogone d'aire 6 fois plus petite que l'aire du carré ABCD. Remarque : les huit côtés de l'octogone sont de même longueur, mais les angles ne sont pas égaux à 135°. L'octogone n'est pas régulier. Figure interactive dans GeoGebraTube : octogone dans un carré Voir octogone régulier |
Indications Comparaison, dans un quadrillage, des aires du carré et de l'octogoneLes logiciels de géométrie dynamique font les calculs d'aire, qui sont facilités en choisissant un côté du carré de longueur 60, avec les sommets de coordonnées A(0, 0) ; B(60, 0) et D(0, 60). Le carré ABCD a alors pour aire 602 = 3 600. Le logiciel trouve 30 pour l'aire du triangle PET, soit un cent vingtième de l'aire du carré. On peut le vérifier avec le quadrillage : le triangle PET y est inscrit dans un rectangle A’B’C’T d'aire Les aires des triangles bordant PET sont :
D'où L'aire de l'octogone est celle du carré PQRS diminué quatre fois l'aire des triangles complémentaires : L'aire de l'octogone est six fois plus petite que l'aire du carré ABCD. | |
6. Aire d'une couronneCalcul de la surface d'une couronne avec une corde tangente au petit cercle Niveau 4e − 3e L'aire s d'une couronne est la différence entre l'aire
πR2 du grand cercle et πr2 celle du petit cercle : Problème : calcul sans connaître les rayons Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c1) et (c2)
de centre O. On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c1) et (c2). Indications : la tangente (AB) au cercle (c1) en M est perpendiculaire au rayon [OM]. |
Cas particulier : Corde égale au diamètre du petit cercleSi AB est égal au diamètre du cercle (c1), r = a, alors le triangle AMO est rectangle isocèle et R = r ; L'aire du cercle (c2) est double de celle de (c1), l'aire de la couronne πr2 est alors égale à l'aire du cercle intérieur. Télécharger la figure GéoPlan couronne.g2w |
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Expressions clés calculs aires, aire calcul, aire pentagone, aire par découpage, aire quadrilatère. Google confond « Aire » avec « Aide » ! | |
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