Descartes et les Mathématiques
Les problèmes de partage équitable
Les mathématiques de la tarte à la crème
Sélection d'articles sur le partage d'aires.
Partage de surfaces en parties égales
1. Diviser le triangle en 2, 3, 4, 6, 7
2. Diviser le carré en 4, 5
3. Diviser le rectangle en 3
4. Diviser le parallélogramme en 2, 5
6. Diviser le cercle en 2, 3, 4, 6…
7. Partage le demi-cercle en 3, 5…
Vingt ans après la chute du mur de Berlin et la fin des
utopies socialistes, il semble que le partage équitable
n'intéresse plus grand monde.
Reste au géomètre le loisir de se poser le problème
du partage en parts égales.
Comme chacun sait, le mathématicien est distrait e
t une bonne dose de crème chantilly masquera les
inégalités éventuelles des découpages !
1. Partages du triangle
1.a. Partage du triangle en deux parties égales
Partage d'un triangle à partir d'un sommet
Une médiane partage
un triangle en deux
triangles d'aires égales.
Partage à partir d'un point M situé sur un des côtés
Extrait de l'article olympiades 2004
Deux polygones d'aires égales
Partage d'un triangle ABC par une droite passant
par un point M situé sur le côté [BC].
Soit A' le milieu et M un autre point de [BC].
La droite, passant par M, qui divise ABC en deux parties
d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un
point P tel que (PA') soit parallèle à (AM).
Figures interactives dans GeoGebra Tube :
partage en deux d'un triangle - recherche
1.b. Partage d'un triangle en trois ou en six
Commet partager un triangle en 3 triangles de même aire
Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC, point
d'intersection des médianes [AA’], [BB’] et [CC’].
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales.
Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC,
les triangles GA’B et GA’C ont même aire.
On en déduit que G permet le partage du triangle
ABC en six triangles d'aires égales.
Figure interactive dans GeoGebra Tube : médianes d'un triangle
1.c. Partage d'un triangle en quatre
Pour partager un triangle en 4 triangles d'aires égales,
tracer le triangle médian.
Les droites des milieux partagent un triangle en quatre
triangles homothétiques : dans le rapport 
pour le
triangle médian, dans le rapport 
pour les trois autres.
Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle médian
Partage du triangle en huit
Partager chacun des petits triangles ci-dessus en deux avec
la médiane (AA’) et les deux parallèles passant par C’ et B’.
Partage du triangle en seize
Le partage en 16 se fait le partage de ces quatre triangles
homothétiques, chacun en quatre triangles, seize fois plus petits que ABC.
1.d. Partage d'un triangle en sept triangles de même aire
Sur les côtés du triangle ABC, placer les points I, J, K tels que :
AK = 
AB,
BI = BC,
CJ = CA.
P, Q et R sont les points d'intersection des droites (AI), (BJ) et (CK).
Le triangle PQR est 7 fois plus petit que le triangle ABC.
Aire(PQR) = Aire(ABC)/7.
Aire(APC) = Aire(AQB) = Aire(BRC) = 2 Aire(ABC)/7.
Avec les milieux M, N et P des côtés du triangle ABC,
en traçant les médianes des trois triangles précédents,
on obtient six triangles, représentés sur la figure en
vert ou en blanc, d'aire égale à celle de PQR.
2. Partages du carré en parties égales
2.a. Partage d'un carré en quatre
Figure 1: partage par les médiatrices en quatre petits carrés.
Figure 2: partage par les diagonales en
quatre triangles rectangles isocèles.
Figure 3: deux droites perpendiculaires, passant par le
centre d'un carré, le partagent en quatre quadrilatères égaux.
Voir aussi : puzzle et carrés et puzzle de Périgal
2.b. Partage du carré en cinq,
carré d'aire cinq fois plus petite…
I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD
(longueur du côté AB = a).
PQRS est un carré, d'aire égale à 
de l'aire de ABCD.
Un découpage de ABCD, en neuf pièces,
permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes
adjacents au carré central PQRS, les 4 triangles rectangles :
faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour
des milieux des côtés du grand carré.
Les triangles ABP, BCQ, CDR et DAS
ont même aire que PQRS, soit a2.
Figure interactive dans GeoGebra Tube :
carré cinq fois plus petit - 5 pièces
Voir aussi : olympiades 2008 - un partage équitable
3. Partages du rectangle en trois
Dans ce découpage classique, la part du milieu
a moins de croûte que les deux autres.
Le géomètre peut proposer cette solution
où toutes les parts ont même quantité de croûte.
La troisième part est formée par le polygone croisé hachuré.
Partage du rectangle en deux
Le long de la diagonale, partage en deux d'un rectangle
avec quatre rectangles : voir construction d'Euclide
4. Partages du parallélogramme
Partage en deux patries égales
Une diagonale d'un parallélogramme le partage
en deux triangles d'aires égales.
4.a. Partage d'un parallélogramme
en deux polygones croisés
M est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD.
La somme des aires des deux triangles hachurés
est égale à celle des deux triangles non hachurés.
4.b. Partage d'un parallélogramme en cinq
On obtient le petit parallélogramme à partir du grand,
en joignant les sommets aux milieux des côtés suivants
(dans le sens direct).
5. Partages de quadrilatères
Pour les amateurs de calcul :
Diviser en deux l'aire d'un trapèze
Diviser un trapèze en deux parties d'aires
équivalentes par une parallèle aux bases.
Application : Diviser un trapèze en quatre parties égales
Partage en deux d'un trapèze par un sommet
6. Partages du disque
Comment partager un cercle en parts égales.
Tracer un polygone régulier.
6.a. Partage du cercle en 2, 4, 8, 16… parties égales
Diviser un cercle en 2 demi-cercles :
Tracez une corde et trouvez-en la médiatrice.
C'est un diamètre qui partage le cercle en deux.
Diviser un cercle en 4 parties égales :
Pour un partage en quatre secteurs égaux,
sur un diamètre repérer le centre par exemple
à l'intersection d'un deuxième diamètre
construit comme médiatrice d'une autre corde.
Il suffit enfin de tracer, à partir du centre,
la perpendiculaire au premier diamètre.
Partage en 8, 16… : il faut ensuite construire
successivement la bissectrice de chaque angle créé.
6.b. Partage d'un cercle en trois parties égales
Les partages en 3 et 6 proposés ici et ci-dessous utilisent le fait que :
cos(60°) = .
Diviser un cercle en 3 :
Partager un diamètre en quatre parties égales.
Tracer la perpendiculaire en un des points obtenus, autres que le centre.
Cette perpendiculaire coupe le cercle aux deux points cherchés.
Construction
Sur la figure ci-dessus, les points I, O et J partagent le
diamètre [AB] en quatre parties égales. La perpendiculaire
en I à [AB]
coupent le cercle en C et D.
Les points B, C et D partagent le cercle en 3.
6.c. Partage du cercle en 6 secteurs circulaires
Commet diviser un cercle en six parts égales
Construction d'un hexagone régulier
Pour découper un disque (c) de centre O, en six parties égales,
partager en quatre un diamètre [AD] avec les points I milieu
de [OA] et J milieu de [OD].
Les perpendiculaires au diamètre, en I et J,
rencontrent le cercle (c) aux points cherchés.
Indication
ABCDEF est un hexagone régulier de côtés
de même longueur que le rayon du cercle.
OAB est un triangle équilatéral ayant (IB) comme médiatrice.
Autres méthodes
6.c.2. Il est aussi possible de prendre la mesure
du rayon et de la reporter 5 fois sur le cercle.
6.c.3. À partir du diamètre [AB], construire le cercle de
centre
A passant par O qui coupe (c) en B et F, puis construire
le cercle
de centre D passant par O qui coupe (c) en C et E.
Voir : polygones réguliers
Partage en 12, 24… : il faut ensuite construire
successivement la bissectrice de chaque angle créé.
Partager un cercle en 9
Tracer un ennéagone régulier,
non constructible à la « règle et au compas »,
7. Partages du demi-cercle
7.a. Trisection du demi-cercle par les compagnons
Diviser un demi-cercle en 3
par les compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge
Pour couper en trois un demi-cercle de diamètre [BC],
les bâtisseurs de cathédrales joignaient le sommet A
du triangle équilatéral ABC aux deux points I et J
qui divisent en trois le diamètre du demi-cercle.
Les intersections K et L des droites (AI) et (AJ)
avec le demi-cercle le divisent en trois.
Démonstration : cette solution est exacte
Soit S le symétrique de A par rapport à C et L le milieu de [BS],
O le centre du cercle et r le rayon du cercle.
• La médiane [BC] du triangle ABS est égale à la moitié du côté [AS].
On en déduit que le triangle ABS est rectangle en B, il est de plus
semi-équilatéral (l'angle en A vaut 60°).
• J est au tiers de la médiane [BC], c'est donc le centre de
gravité du triangle ABS et la droite (AJ), médiane issue du
sommet A, coupe [BS] en son milieu L.
• Le segment [LC], joignant les milieux des côtés [BS] et [AS],
est égal à r moitié de [BA], et est parallèle à (BA), donc
perpendiculaire à (BL).
BLC est un triangle rectangle en L.
L est donc sur le demi-cercle de diamètre [AB].
• Le triangle OLC est équilatéral de côté r.
L'angle CÔL vaut 60° et L divise bien le demi-cercle en trois.
• Par symétrie, il est en est de même pour K.
Indications pour une autre démonstration de cette solution
L'arc BK correspond à
une corde [BK] de
longueur r égale au rayon
du cercle.
En effet, si O est le centre
du cercle et P le point
d'intersection de (AI)
avec la perpendiculaire
en B à (BC).
Les triangles rectangles
IOA et IBP sont
semblables avec un
rapport de similitude
égal à 2 car BI = 2 OI = 
r.
Comme BP = 2OA = 2r
,
si Q est le milieu de [BP],
[OA] et [QP] sont symétriques
par rapport au point K
intersection de (AP) et (OQ).
Le triangle rectangle OBQ
de côtés BO = r et BQ = r
est la moitié d'un triangle
équilatéral comme ABC.
L'hypoténuse [OQ] mesure 2r est son milieu K est tel que OK = r,
le point K est situé sur le demi-cercle de diamètre [BC].
Par symétrie, il est en est de même pour L, K et L divisent
le demi-cercle en trois parties égales.
Voir aussi : trisection de l'angle par les compagnons
Autres méthodes
7.a.2. Comme ci-dessus, partager le diamètre en quatre parties
égales. Les perpendiculaires aux deux points autres que le
centre coupent le demi-cercle aux deux points cherchés.
7.a.3. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon
et de la reporter 2 fois sur le demi-cercle.
7.b. Partage d'un demi-cercle en cinq
Diviser un demi-cercle en 5 parties égales:
Pour partager en cinq un demi-cercle de diamètre [BC],
les bâtisseurs de cathédrales du Moyen-Âge joignaient
le sommet A du triangle équilatéral ABC aux quatre points
qui divisent le diamètre du demi-cercle en cinq parties égales.
La construction n'est pas exacte, mais l'erreur est d'environ
2 %, ce qui rend la méthode acceptable et l'approximation
n'est pas perceptible sur un dessin papier.
Il est possible de généraliser cette méthode au partage
d'un demi-cercle en n parties égales.
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Partage d'un segment en trois : constructions élémentaires,
Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages
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Partage de l'angle d'un triangle en quatre : construction de-ci, de-là
Partager les côtés du carré en quatre
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Calculs d'aires au collège
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Aires du parallélogramme et du trapèze
Démonstrations avec la méthode des aires :
théorème de Thalès
théorème de Pythagore
Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur
Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes
Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1ère L - TL
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