Les mathématiques de la tarte à la crèmeLes problèmes de partage en parts égales Sélection d'articles sur le partage de surfaces. | ||||
Partage d'aires en parties égales1. Diviser le triangle en 2, 3, 4, 6, 7 2. Diviser le carré en 4, 5 3. Diviser le rectangle en 3 4. Diviser le parallélogramme en 2, 5 6. Diviser le cercle en 2, 3, 4, 6… 7. Partage le demi-cercle en 3, 5… Dans d'autres pages du site Diviser en trois Partage d'un segment en trois : constructions élémentaires, Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages Diviser en quatre Partage de l'angle d'un triangle en quatre : construction de-ci, de-là Partager les côtés du carré en quatre |
Calculs d'aires au collège Calculs d'aires en cinquième Calcul d'aires en seconde Aires du parallélogramme et du trapèze Démonstrations avec la méthode des aires : théorème de Pythagore Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes Calcul d'aire minimum : minimum-maximum Analyse en option 1ère L - TL | |||
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Vingt ans après la chute du mur de Berlin et la fin des utopies socialistes, il semble que le partage équitable n'intéresse plus grand monde. Reste au géomètre le loisir de se poser le problème du partage en parts égales. | ||||
1. Partages du triangle1.a. Partage du triangle en deux parties égalesPartage d'un triangle à partir d'un sommet![]() Figure extraite de l'article aire et médiane Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
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Partage à partir d'un point M situé sur un des côtés![]() Extrait de l'article olympiades 2004 Deux polygones d'aires égales Partage d'un triangle ABC par une droite passant par un point M situé sur le côté [BC]. Soit A' le milieu et M un autre point de [BC]. La droite, passant par M, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point P tel que (PA') soit parallèle à (AM).
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1.b. Partage d'un triangle en trois ou en six![]() Commet partager un triangle en 3 triangles de même aire Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC, point d'intersection des médianes [AA’], [BB’] et [CC’]. Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales. Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales. Extrait de l'article théorème du chevron
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1.c. Partage d'un triangle en quatre![]() Pour partager un triangle en 4 triangles d'aires égales, tracer le triangle médian. Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport
Partage du triangle en huitPartager chacun des petits triangles ci-dessus en deux avec la médiane (AA’) et les deux parallèles passant par C’ et B’. Partage du triangle en seizeLe partage en 16 se fait le partage de ces quatre triangles homothétiques, chacun en quatre triangles, seize fois plus petits que ABC. |
1.d. Partage d'un triangle en sept triangles de même aire![]() Paragraphe extrait de la page triangles en seconde Sur les côtés du triangle ABC, placer les points I, J, K tels que : P, Q et R sont les points d'intersection des droites (AI), (BJ) et (CK). Le triangle PQR est 7 fois plus petit que le triangle ABC. Aire(PQR) = Aire(ABC)/7. Aire(APC) = Aire(AQB) = Aire(BRC) = 2 Aire(ABC)/7. Avec les milieux M, N et P des côtés du triangle ABC, en traçant les médianes des trois triangles précédents, on obtient six triangles, représentés sur la figure en vert ou en blanc, d'aire égale à celle de PQR.
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2. Partages du carréPartage d'un carré en quatreFigure 1: partage par les médiatrices en quatre petits carrés. Figure 2: partage par les diagonales en quatre triangles rectangles isocèles. Figure 3: deux droites perpendiculaires, passant par le centre d'un carré, le partagent en quatre quadrilatères égaux. Voir aussi : puzzle et carrés et puzzle de Périgal
Carré d'aire cinq fois plus petite…![]() I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a). PQRS est un carré, d'aire égale à Un découpage de ABCD, en neuf pièces, permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, les 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré. Les triangles ABP, BCQ, CDR et DAS ont même aire que PQRS, soit
Voir aussi : olympiades 2008 - un partage équitable | ||||
3. Partages du rectangle en trois![]() Dans ce découpage classique, la part du milieu a moins de croûte que les deux autres.
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![]() Le géomètre peut proposer cette solution où toutes les parts ont même quantité de croûte. La troisième part est formée par le polygone croisé hachuré.
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Partage du rectangle en deux Le long de la diagonale, partage en deux d'un rectangle avec quatre rectangles : voir construction d'Euclide | ||||
4. Partages du parallélogrammePartage en deux triangles égauxUne diagonale d'un parallélogramme le partage en deux triangles d'aires égales. 4.a. Partage d'un parallélogramme en deux polygones croisés![]() M est un point variable à l'intérieur du parallélogramme ABCD. La somme des aires des deux triangles hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés. Paragraphe extrait de la page aire du parallélogramme.
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4.b. Partage d'un parallélogramme en cinq parties égaulesParagraphe extrait de la page parallélogramme. ![]() On obtient le petit parallélogramme à partir du grand, en joignant les sommets aux milieux des côtés suivants (dans le sens direct).
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5. Partages de quadrilatèresPour les amateurs de calcul : Diviser en deux l'aire d'un trapèzeDiviser un trapèze en deux parties d'aires équivalentes par une parallèle aux bases. Partage en deux d'un trapèze par un sommet | ||||
6. Partages du disqueComment partager un cercle en parts égales. Tracer un polygone régulier. 6.a. Partage du cercle en 2, 4, 8, 16… parties égales![]() Diviser un cercle en 2 : Tracez une corde et trouvez-en la médiatrice. C'est un diamètre qui partage le cercle en deux demi-cercles. Diviser un cercle en 4 parties égales : Pour un partage en quatre secteurs égaux, sur un diamètre repérer le centre par exemple à l'intersection d'un deuxième diamètre construit comme médiatrice d'une autre corde.
Partage en 8, 16… : il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé. | ||||
6.b. Partage d'un cercle en trois parties égales![]() Les partages en 3 et 6 proposés ici et ci-dessous utilisent le fait que : Diviser un cercle en 3 : Partager un diamètre en quatre parties égales. Construction Sur la figure ci-contre, les points I, O et J partagent le diamètre [AB] en quatre parties égales. La perpendiculaire en I à [AB] coupent le cercle en C et D. Les points B, C et D partagent le cercle en 3.
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6.c. Partage du cercle en 6![]() Commet diviser un cercle en six parts égales Pour découper un disque (c) de centre O, en six parties égales, partager en quatre un diamètre [AD] avec les points I milieu de [OA] et J milieu de [OD]. Les perpendiculaires au diamètre, en I et J, rencontrent le cercle (c) aux points cherchés. Indication ABCDEF est un hexagone régulier de côtés de même longueur que le rayon du cercle. OAB est un triangle équilatéral ayant (IB) comme médiatrice.
Autres méthodes 6.c.2. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon et de la reporter 5 fois sur le cercle. 6.c.3. À partir du diamètre [AB], construire le cercle de centre A passant par O qui coupe (c) en B et F, puis construire le cercle de centre D passant par O qui coupe (c) en C et E. Voir : polygones réguliers Partage en 12, 24… : il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé. | |||
Partager un cercle en 9Tracer un ennéagone régulier, non constructible à la « règle et au compas », | ||||
7. Partages du demi-cercle7.a. Trisection du demi-cercle par les compagnons![]() Diviser un demi-cercle en 3 par les compagnons bâtisseurs du Moyen-Âge Pour couper en trois un demi-cercle de diamètre [BC], les bâtisseurs de cathédrales joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux deux points I et J qui divisent en trois le diamètre du demi-cercle. Les intersections K et L des droites (AI) et (AJ) avec le demi-cercle le divisent en trois.
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Démonstration : cette solution est exacte![]() Soit S le symétrique de A par rapport à C et L le milieu de [BS], O le centre du cercle et r le rayon du cercle. • La médiane [BC] du triangle ABS est égale à la moitié du côté [AS]. On en déduit que le triangle ABS est rectangle en B, il est de plus semi-équilatéral (l'angle en A vaut 60°). • J est au tiers de la médiane [BC], c'est donc le centre de gravité du triangle ABS et la droite (AJ), médiane issue du sommet A, coupe [BS] en son milieu L. • Le segment [LC], joignant les milieux des côtés [BS] et [AS], est égal à r moitié de [BA], et est parallèle à (BA), donc perpendiculaire à (BL). • Le triangle OLC est équilatéral de côté r. L'angle CÔL vaut 60° et L divise bien le demi-cercle en trois. • Par symétrie, il est en est de même pour K.
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Indications pour une autre démonstration de cette solution![]() L'arc BK correspond à une corde [BK] de longueur r égale au rayon du cercle. En effet, si O est le centre du cercle et P le point d'intersection de (AI) avec la perpendiculaire en B à (BC). Les triangles rectangles IOA et IBP sont semblables avec un rapport de similitude égal à 2 car BI = 2 OI = Comme BP = 2OA = 2r Par symétrie, il est en est de même pour L, K et L divisent le demi-cercle en trois parties égales.
Voir aussi : trisection de l'angle par les compagnons Autres méthodes 7.a.2. Comme ci-dessus, partager le diamètre en quatre parties égales. Les perpendiculaires aux deux points autres que le centre coupent le demi-cercle aux deux points cherchés. 7.a.3. Il est aussi possible de prendre la mesure du rayon et de la reporter 2 fois sur le demi-cercle. |
7.b. Partage d'un demi-cercle en cinq![]() Diviser un demi-cercle en 5 parties égales:
Pour partager en cinq un demi-cercle de diamètre [BC], les bâtisseurs de cathédrales du Moyen-Âge joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux quatre points qui divisent le diamètre du demi-cercle en cinq parties égales. La construction n'est pas exacte, mais l'erreur est d'environ 2 %, ce qui rend la méthode acceptable et l'approximation n'est pas perceptible sur un dessin papier. Il est possible de généraliser cette méthode au partage d'un demi-cercle en n parties égales. | |||
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Page no 152, réalisée le 9/10/2009 |