|
Giovanni Céva (1648-1734)
Cévienne
Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet :
– les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes,
– les médiatrices ne sont pas des céviennes.
Théorème de Céva
Énoncé avec des mesures algébriques
Dans un triangle ABC, soit trois céviennes, distinctes des côtés.
La première passe par A et coupe le côté (BC) en A’, la seconde passe par B et coupe le côté (AC) en B’ et la troisième passe par C et coupe le côté (AB) en C’.
Les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si :
Trois céviennes concourantes en un point I, coupent les côtés du triangle en A’, B’ et C’.
Le cercle pédal de I recoupe les côtés en A1, B1 et C1.
Ces trois autres points A1, B1 et C1 sont également les pieds de trois céviennes
concourantes en un point J , appelé conjugué cyclocévien de I.
en : cyclocevian conjugate
Les points de Terquem sont les six points A’, B’, C’, A1, B1 et C1.
 Télécharger la figure GéoPlan triangle_terquem.g2w
 WikiPédia : Théorème de Terquem
he : :אולרי_טרקם
|
|
Énoncé avec des distances
À l'intérieur d'un triangle ABC, une première cévienne passe par A et coupe le côté [BC] en A’, une seconde passe par B et coupe le côté [AC] en B’ et une troisième passe par C et coupe le côté [AB] en C’.
Les trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si : A’B/A’C × B’C/B’A × C’A/C’B = 1.
Applications : le théorème de Céva permet de montrer facilement que les médianes, les hauteurs ou les bissectrices d'un triangle sont concourantes.
Il permet aussi de démontrer que les trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit sont concourantes au point de Gergonne.
On démontre de même que les trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits sont concourantes au point de Nagel.
|
|
en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévian
Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent − en général − les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.
Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal (ou cercle de Terquem) de I par rapport au triangle ABC.
Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian.
|
Cercle pédal
Le cercle pédal d'un point est le cercle circonscrit au triangle pédal correspondant.
Le cercle pédal, du centre du cercle inscrit, passe par le point de Feuerbach du triangle.
|
|
Terquem Olry (1782-1862)
Soit ABC un triangle et trois céviennes du triangle concourantes en un point I.
Le cercle pédal de I par rapport à ABC, passant par les pieds de ces céviennes, détermine trois autres points sur les côtés du triangle.
Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes (en J sur la figure ci-dessus).
Ces six points sont appelés points de Terquem.
Cas particuliers
Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle pédal est le cercle inscrit dans le triangle. En effet, le cercle pédal touche le triangle en trois points doubles qui sont les points de tangence.
Ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne.
Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement ; le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité est alors le cercle des neuf points(cercle de Terquem).
L'orthocentre est le conjugué cyclocévien du centre de gravité.
Démonstration
D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes on a :
La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A’B’C’ est  ,
d'où les rapports égaux :  .
De même, la puissance de B permet d'écrire  .
Enfin, la puissance de C permet d'écrire  .
Le produit des rapports de gauche est égal à –1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à –1,
d'où : 
D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes.
|
Céviennes isotomiques − Points réciproques
Avec les notations de l'article précédent, deux céviennes issues d'un même sommet (A par exemple) sont dites isotomiques lorsque leurs pieds A’ et A1 sont symétriques par rapport au milieu du côté [BC].
Lorsque trois céviennes sont concourantes, les trois céviennes isotomiques sont aussi concourantes.
Soit I le point de concours de trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’), I non situé sur les côtés du triangle,
les trois céviennes isotomiques (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes en J. Les points I et J, réciproques l'un de l'autre, sont dits conjugué cyclocévien.
Si le point I a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z), alors J, le point réciproque de I a pour coordonnées barycentriques (1/x ; 1/y ; 1/z).
Les points de Gergonne et de Nagel sont deux points réciproques.
|
|
Droites antiparallèles
Deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles s'ils ont les mêmes directions de bissectrices.
Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).
On dit que (d’) est antiparallèle à (d) par rapport à (Δ, Δ’).
Télécharger la figure GéoPlan antiparallele.g2w
Figure exportée dans Wiki Pédia : droites antiparallèles
nl : Antiparallel
vièt : Điểm đẳng giác
wiktionnaire : antiparallèle
|
|
Quatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC).
Télécharger la figure GéoPlan cocyclique_antiparallele.g2w
|
2.c.Droites isogonales
Couple de droites isogonaux
en : isogonal conjugate
Deux couples de droites concourantes (d, d’) et (Δ, Δ’) sont isogonaux s'ils sont antiparallèles.
Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).
On dit que (d’) est isogonale à (d) par rapport à (Δ, Δ’).
Si deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles et concourants, on dit qu'ils sont isogonaux.
Ils ont les mêmes bissectrices.
Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).
Application
Soit (d), (Δ), (Δ’) trois droites concourantes. La droite (d’) symétrique de (d) par rapport à la bissectrice intérieure de (Δ) et (Δ’) est isogonale à (d) par rapport à (Δ, Δ’).
Avec GéoPlan, il est facile de construire un prototype qui, à partir deux droites (AB) et (AC) sécantes en A, d'un point M et d'une droite (d), trace la droite (d’) passant par M, antiparallèle à (d) par rapport à (AB) et (AC).
Télécharger la figure GéoPlan isogonal.g2w
|
|
Un quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle.
Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle.
Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés.
Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
Un quadrangle complet (dont les côtés ne sont pas parallèles) a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.
Le quadrangle est à distinguer du quadrilatère complet qui a six sommets, quatre côtés, trois diagonales et trois points diagonaux.
Dans un espace projectif, le dual d'un quadrangle est un quadrilatère complet et réciproquement.
Si H est l'orthocentre du triangle ABC,
A est l'orthocentre de BCH, B de ACH, C de ABH.
ABCH est un quadrangle orthocentrique.
2.e.Quadrangle inscriptible
Un quadrangle est inscriptible, si ses quatre sommets sont sur un même cercle.
Pour qu'un quadrangle soit inscriptible, il faut et il suffit que deux couples de côtés opposés soient antiparallèles. Le troisième couple est alors antiparallèle à chacun des deux autres.
Soit ABCD un quadrangle dont les côtés opposés (AB) et (CD) se coupent en I.
ABCD est inscriptible si et seulement si :
IA × IB = IC × ID.
IA × IB est la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit au quadrangle.
Les angles IÂD et ICB sont égaux. Les triangles IAD et ICB sont (inversement) semblables (les angles inscrits DCB et DAB sont supplémentaires dans la figure ci-contre ou égaux dans la figure ci-dessus).
WikiPédia : Quadrangle
nl : Antiparallel
Télécharger la figure GéoPlan quadrangle_inscriptible.g2w
|
2.f. Droites antiparallèles aux côtés d'un triangle
Lorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB)» à la place de «la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ».
Trois droites (d1), (d2) et (d3) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC si :
la droite (d1) est antiparallèle à (BC) par rapport à (AB) et (AC),
la droite (d2) est antiparallèle à (AC) par rapport à (BA) et (BC),
la droite (d3) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB).
|
2.g. Points sur deux droites isogonales
Soit (Δ) et (Δ’) deux droites concourantes en A,
M et N deux points sur deux droites (d) et (d’) concourantes en A.
M1 et N1 sont les projections orthogonales de M et N sur (Δ), M2 et N2 sur (Δ’).
Théorème
Les deux couples de droites (Δ, Δ’) et (d, d’) sont isogonaux si et seulement si les points M1N1M2N2 sont cocycliques.
Indications
Le centre O du cercle est le milieu de [MN].
(N1N2) est orthogonale à (d), (M1M2) est orthogonale à (d’).
Télécharger la figure GéoPlan points_sur_isogonales.g2w
|
3. Symédianes et point de Lemoine
Définition
La symédiane issue du sommet A d'un triangle ABC est la droite (d) telle que l'angle, formé par cette droite (d) et la médiane (AA’) issue de A, ait pour bissectrice la bissectrice de BÂC.
C'est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle Â.
Point de Lemoine (1873)
Lemoine Émile, mathématicien français
spécialiste de la géométrie du triangle, 1840-1912
Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le point de Lemoine, ou point de Grebe ou encore point symédian du triangle (point X(6) dans ETC).
Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel formé par les tangentes à son cercle circonscrit (Γ).
Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles aux côtés.
Le point de Lemoine du triangle ABC, de côtés a = BC, b = CA et c = AB est le barycentre du système pondéré (A, a2) ; (B, b2) ; (C, c2).
Le point de Lemoine est le point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale.
Le point de Lemoine L est le point de Gergonne du triangle tangentiel (point X(7)).
 Figures dans GeoGebraTube : point de Lemoine,
triangle tangentiel
Figure exportée dans WikiPédia: symédiane
Voir : construction avec trois carrés autour d'un triangle,
cercles de Tücker
|
Propriétés du point de Lemoine
Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés.
Le point de Lemoine du triangle ABC,
de côtés a = BC, b = AC et c = AB est le barycentre du système pondéré (A, a2) ; (B, b2) ; (C, c2).
C'est le point L dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale.
Droite de Lemoine
Intersection des côtés du triangle avec ceux du triangle tangentiel.
La tangente en A au cercle circonscrit coupe le côté (BC) en P, la tangente en B coupe (AC) en Q, la tangente en C coupe (AB) en R.
Ces trois points sont alignés sur la droite de Lemoine du triangle ABC, qui est la polaire du point de Lemoine par rapport à ce cercle circonscrit au triangle.
Les points P, Q, R sont les centres des cercles d'Apollonius du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan droite_lemoine.g2w
L'axe de Brocard du triangle est la droite (OL) passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine.
Il contient les centres isodynamiques M et N, points d'intersection des cercles d'Apollonius ;
l'axe de Brocard est perpendiculaire à la droite de Lemoine (PQ).
Voir : cercles de Tücker, cercles de Lemoine, figure de Vecten
|
|
La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu.
En effet, dans le triangle ABC, soit (DE) une antiparallèle à (BC) qui coupe la symédiane de sommet A en M. L'antiparallèle (DE) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit de ABC.
Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de BÂC, les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’. (D’E’) est parallèle à (BC). M’, situé sur la médiane [AA’], est le milieu de [D’E’]. Par symétrie réciproque, M est le milieu de [DE].
Autre démonstration
Dans le triangle ABC, soit M le milieu de (DE) une antiparallèle à (BC). Montrons que (AM) est la symédiane passant par A :
En effet, la droite (AM) est conjuguée harmonique de la tangente en A à (Γ) par rapport à (AB, AC). La droite (AM) est donc la polaire, par rapport à (Γ) du point T, intersection de (BC) avec la tangente en A à (Γ).
Par réciprocité polaire, la droite (AM) contient le pôle T1 de (BC).
(AM) est la symédiane issue de A.
Figure dans GeoGebraTube : symédiane et milieu d'une antiparallèle au côté d'un triangle
|
Triangle podaire
en : pedal triangle ; à ne pas confondre avec le triangle pédal.
Soit P un point distinct des sommets du triangle ABC et n'appartenant pas au cercle circonscrit, P1, P2, P3 sont les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle.
P1P2P3 est le triangle podaire du point P relativement au triangle ABC.
Le cercle circonscrit au triangle P1P2P3 est le cercle podaire du point P par rapport au triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan points_isogonaux.g2w
|
Point conjugué isogonal
de : Isogonal konjugierte Punkte
Dans un triangle, deux points sont conjugués isogonaux s'ils sont situés aux intersections de deux couples de droites isogonales, issues de deux sommets.
Ils sont alors situés sur un couple de droites isogonales, issues du troisième sommet.
Si un point P a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z),
alors Q, le conjugué isogonal de P a pour coordonnées barycentriques (a2/x ; b2/y ; c2/z).
Les triangles podaires de deux points isogonaux P et Q sont inscrits dans un même cercle de centre O, le milieu de [PQ].
Cette propriété permet la construction du point isogonal par l'intermédiaire du cercle podaire.
WikiPédia : Conjugué isogonal
nl : Isogonale verwantschap
Wiktionnaire : isogonale
Dans un triangle, deux points sont conjugués isogonaux s'ils situés aux intersections de deux couples de droites isogonales, issues de deux sommets.
Ils sont alors situés sur un couple de droites isogonales, issues du troisième sommet.
Exemples :
Les centres des cercles inscrit et exinscrits coïncident avec leurs conjugués isogonaux (ces cercles sont les cercles podaires de leur centre).
Le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre
(une conséquence du théorème de Nagel, d'où des propriétés intéressantes de la droite d'Euler et du cercle de Feuerbach).
Le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité.
Les deux points de Brocard sont des conjugués isogonaux.
|
|
Gergonne Joseph (mathématicien français 1771-1859)
Le point de Gergonne est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit (point X(7) dans ETC).
Les six céviennes sont alors confondues deux à deux, les points de Terquem sont trois points doubles iA, iB et iC points de contact du cercle pédal qui est le cercle inscrit dans le triangle ABC. Ce cercle est tangent intérieurement aux trois côtés du triangle en iA, iB et iC.
Ces céviennes (AiA), (BiB) et (CiC) sont concourantes en un même point G, point de Gergonne du triangle ABC.
Le point G est le barycentre de
(A, tan ) ; (B, tan ) ; (C, tan ).
Le point G est son propre conjugué cyclocévien.
Le triangle iAiBiC s'appelle le triangle de Gergonne ou triangle de contact du triangle ABC.
Les trois bissectrices (intérieures) du triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle.
en : contact triangle
Le point de Gergonne G est le point de Lemoine du triangle de Gergonne iAiBiC.
Figure dans GeoGebraTube : point de Gergonne
Preuve
Pour chacun des sommets, les deux tangentes déterminent deux segments, du sommet aux points de contact, de longueurs égales :
AiB = AiC, ainsi que BiA = BiC et CiA = CiB.
On a : AiC/BiC × BiA/CiA × CiB/AiB = 1.
La relation de Céva est donc vérifiée.
Les céviennes (AiA), (BiB) et (CiC) sont bien concourantes en G, nommé point de Gergonne.
|
|
Le triangle de référence ABC et le triangle de Gergonne iAiBiC sont en perspective de pôle G, le point de Gergonne.
La forme forte du théorème de Desargues montre que les points de Nobbs, points de concours nA, nB et nC des côtés du triangle ABC et du triangle de Gergonne, sont alignés sur la droite de la perspective (perspectrix ou axe d'homologie) nommée droite de Gergonne.
La droite de Soddy (IG) (I centre du cercle inscrit) est perpendiculaire en F (Point de Fletcher X(1323)) à la droite de Gergonne.
Figure dans GeoGebraTube : droite de Gergonne
|
|
Le point de Nagel est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits (Point X(8) dans ETC).
Cercles exinscrits
Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes. Leur point d'intersection est à égale distance des trois côtés du triangle. Il permet de tracer un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.
Soit (c1), (c2) et (c3) les trois cercles exinscrits au triangle ABC. Notons TA, TB et TC leurs centres.
Notons uA le point de contact de (c1) avec [BC], uB le point de contact de (c2) avec [AC] et uC le point de contact de (c3) avec [AB].
Le calcul des distances des sommets aux points de contact donne :
BuA = p – c ; CuA = p – b ; AuB = p – c ; CuB = p – a ; AuC = p – b ; BuC = p – a.
On a : AuC/BuC × BuA/CuA× CuB/AuB = 1. La relation de Céva est vérifiée :
les droites (AuA), (BuB) et (CuC) sont concourantes ; leur point d'intersection s'appelle le point de Nagel du triangle.
Le triangle uAuBuC qui a pour sommets les points de contact des trois cercles exinscrits avec les côtés du triangle ABC, est le triangle de Nagel du triangle ABC.
Point de concours
Les céviennes (AuA), (BuB) et (CuC) sont concourantes au point de Nagel Na.
Figure dans GeoGebraTube : point de Nagel
Droite de Nagel
La droite de Nagel passe par le centre de gravité G, le centre du cercle inscrit I et le point de Nagel Na.
Le point G est au tiers de INa, à partir de I.
Le centre de Spieker (X(10)) est aussi sur cette droite. c'est le centre du cercle inscit dans le triangle médian.
|
Cercle inscrit dans le triangle médian
Le point de Nagel est le barycentre de :
(A, – a + b + c) ; (B, a – b + c) ; (C, a + b – c).
Points de contact des cercles inscrit et exinscrit avec un côté du triangle
On a vu, dans la page cercles inscrit et exinscrit, que le point de contact R du cercle inscrit avec [AB] vérifie AR = p – a. Comme BC’ = p – a, les points R et C’ sont symétriques par rapport au milieu C1 de [AB].
Cercle inscrit dans le triangle médian
Le cercle inscrit dans le triangle médian du triangle ABC a son centre J situé sur la droite de Nagel. J est le milieu de [NI].
Par homothétie de centre N et de rapport  , le cercle inscrit dans le triangle ABC a pour image le cercle inscrit dans le triangle médian du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan nagel3.g2w
|
|
Soit A’B’C’ les points de contact des côtés d'un triangle ABC avec les cercles exinscrits de centres I1, I2, I3.
Les droites (I1A’), (I2B’) et (I3C’) sont concourantes :
leur point d'intersection J s'appelle le point de Bevan du triangle ABC (point X(40) dans ETC).
Le triangle I1I2I3, formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits, s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.
en : excentral triangle or extriangle
Propriétés du point de Bevan
Le point de Bevan J est le symétrique du centre I du cercle inscrit par rapport au centre O du cercle circonscrit à ABC.
Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan I1I2I3.
Le rayon du cercle circonscrit au triangle de Bevan est le double de celui du cercle circonscrit au triangle ABC.
Figure interactive dans GeoGebraTube : point de Bevan
|
Hauteurs du triangle de Bevan
Le centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle de Bevan.
Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle de Bevan.
Télécharger la figure GéoPlan bevan4.g2w
|
|
Le point de Bevan est le centre du cercle inscrit dans le triangle J1J2J3 construit avec les tangentes communes aux cercles exinscrits.
en : extangents triangle
Ces tangentes sont trois droites, symétriques des côtés par rapport aux lignes des centres :
– la droite (J1J2), symétrique de (AB) par rapport à (I1I2), rencontre (AB) en K3 ;
– (J2J3), symétrique de (BC) par rapport à (I2I3), passant par K1
– et (J1J3), symétrique de (AC) par rapport à (I1I3), passant par K2.
Télécharger la figure GéoPlan bevan2.g2w
|
|
Triangles de Bevan et Gergonne
P, Q et R sont les points de contact du cercle inscrit dans ABC. G est le point de Gergonne de ABC.
Le triangle de Bevan I1I2I3 et le triangle de Gergonne PQR sont homothétiques.
Télécharger la figure GéoPlan bevan3.g2w
|
Triangle médian du triangle de Bevan
Les milieux A1, B1, C1des côtés du triangle I1I2I3 de Bevan sont situés sur le cercle circonscrit à ABC.
Le triangle médian A1B1C1 est homothétique au triangle de Bevan I1I2I3 et au triangle de Gergonne PQR.
J est le point de Bevan. O est le centre du cercle circonscrit à ABC.
G est le centre de gravité du triangle de Bevan I1I2I3,
G’ est le point de Gergonne de ABC.
Le rayon du cercle circonscrit au triangle I1I2I3 est le double de celui du cercle circonscrit au triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan bevan_milieu.g2w
Voir aussi : problèmes d'antan
|
Triangle de Bevan d'un triangle rectangle
Pour un triangle rectangle, le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit par rapport au milieu de l'hypoténuse.
I est le centre du cercle inscrit dans ABC,
G est le point de Gergonne de ABC.
Télécharger la figure GéoPlan bevan_rectanle.g2w
|
|
Ces points tirent leur nom du mathématicien français Henri Brocard (1845-1922).
Ils ont été trouvés, en réalité par Jacobi et, en 1816, par Crelle.
Le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point Ω, tel que les angles ΩAB, ΩBC et ΩCA orientés positivement soient égaux.
Le second point de Brocard du triangle est le point Ω’, tel que les angles Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC orientés positivement soient égaux.
Les segments joignant les points Ω et Ω’ aux sommets du triangle constituent des isogonales du triangle ABC.
Les angles ΩAB, ΩBC,ΩCA ; Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC quelles définissent avec les côtés du triangle sont tous égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ω.
Cet angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente par la formule :
cotan ω = cotan  + cotan  + cotan  =  où S désigne l'aire du triangle,
tan ω =  .
Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.
Le premier point de Brocard est le barycentre
de (A,  ) ; (B,  ) ; (B,  )
et le second point de Brocard est le barycentre
de (A, ) ; (B,) ; (B, ).
Les coordonnées barycentriques du premier et du deuxième point de Brocard sont respectivement : (1/b^2, 1/c^2, 1/a^2) et (1/c^2, 1/a^2, 1/b^2).
Les points de Brocard sont " bicentric " ; ce ne sont pas des " centres " du triangle et ils ne sont pas associés à des nombres de Kimberling.
Télécharger la figure GéoPlan brocard.g2w
Retrouver cette image sur WikiPédia :
nl : Punten van Brocard
km : Kmer
WikiMonde
|
|
Premier point de Brocard - construction géométrique
Étant donné un triangle ABC,
tracer le cercle passant par A et B et tangent à (BC),
le cercle passant par B et C et tangent à (CA)
et le cercle passant par C et A et tangent à (AB).
Ces trois cercles sont sécants en Ω, premier point de Brocard du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan brocard1.g2w
Figure exportée dans WikiPédia : Premier point de Brocard
|
|
Deuxième point de Brocard
De même, tracer le cercle passant par A et B et tangent à (AC),
le cercle passant par B et C et tangent à (BA)
et le cercle passant par C et A et tangent à (CB).
Ces trois cercles sont sécants en Ω’, second point de Brocard du triangle.
Télécharger la figure GéoPlan brocard2.g2w
Figure exportée dans WikiPédia : Deuxième point de Brocard
|
|
Troisième point de Brocard
Les coordonnées barycentriques des premier et second points de Brocard invitent à créer un troisième point de Brocard, dont les coordonnées barycentriques sont : (1/a^2, 1/b^2, 1/c^2)
Ce point porte le numéro X(76) dans la nomenclature de Kimberling.
|
|
L'axe de Brocard du triangle est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine.
Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle, cercle de Brocard du triangle.
[OL] est un diamètre de ce cercle, dit diamètre de Brocard.
Les points de Brocard sont symétriques par rapport à l'axe de Brocard (OL).
Télécharger la figure GéoPlan brocard_cercle.g2w
Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
Ils forment la première "paire bicentrique" P(1) et et U(1) dans l'encyclopédie de Klimberling.
La médiane, issue d'un sommet du triangle ; la symédiane, issue d'un second sommet ; et une des droites de Brocard, issue d'un troisième sommet, sont concourantes.
Remarque : ne pas confondre les droites de Brocard (AΩ), (AΩ’), (BΩ’)… et l'axe de Brocard (OL).
Télécharger la figure GéoPlan brocard_concours.g2w
|
Théorème d'Alasia
Cristoforo Alasia mathématicien italien 1869-1918
Théorème d'Alasia :
Le triangle ABC est isocèle en C si, et seulement si, la droite (ΩΩ’) est parallèle à la base (AB).
|
Descartes et les Mathématiques
Sur tablette numérique ou smartphone, bascule automatique vers la version mobile
