Descartes et les Mathématiques Montrer un alignementExercices de géométrie plane : carré et triangles équilatéraux | |
Sommaire1. Justifier un alignement de 3 points 2. Carré et deux triangles équilatéraux a. Vérifier un alignement 3. Un point de concours et deux autres alignements 3.b. Deux alignements prouvés avec une rotation 4. Alignement avec le sommet d'un triangle Théorèmes mettant en œuvre des alignements | Sur tablette numérique ou smartphone, bascule automatique vers la version mobile |
Alignements dans d'autres pages du site Alignement avec un point et son transformé par une rotation Diamètres de deux cercles sécants Alignement avec un point et son transformé dans une similitude Deux carrés : alignement avec un point de concours Alignement dans trois carrés consécutifs Tiers d'un segment dans un parallélogramme Deux triangles équilatéraux autour d'un carré Polaire par rapport aux médianes d'un triangle Montrer un alignement dans l'espace Figure 3D de GeoGebraTube : montrer un alignement dans l'espace | |
1. Prouver un alignement de trois pointsDéfinition : trois points A, B, C sont alignés si le point C appartient à la droite (AB). Commet démontrer que trois points sont alignés : Deux parallèles : trois points A, B, C sont alignés si les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Vecteurs colinéaires : trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs et sont colinéaires. Angle : trois points A, B, C sont alignés si l'angle ABC est nul ou plat. Deux angles égaux : trois points A, B, C sont alignés si les angles des droites (AB) et (AC) avec une troisième droite (AD) sont les mêmes. Les angles BAD et BAC sont égaux, on retrouve le parallélisme des droites (AB) et (AC). Deux perpendiculaires : trois points A, B, C sont alignés si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires à une même troisième. Transformation : A, B et C sont alignés s'ils sont les images de trois points alignés par une transformation (isométrie, homothétie, similitude en TS…). Homothétie : alignement du centre, d'un point et de son image. Inégalité triangulaire : l'égalité AB + BC = AC est caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC]. Géométrie analytique : les coordonnées du point C vérifient l'équation de la droite (AB). En général dans ce site, nous nous contenterons de la preuve par la géométrie dynamique : c'est le logiciel qui fait les calculs permettant de justifier l'alignement ! Utiliser le barycentre ou les complexes en terminale. Géométrie du cercle : après le bac, utiliser les propriétés de l'axe radical ou de l'axe orthique Espace : Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans. | |
2. Carré et deux triangles équilatérauxTrouver le plus de solutions possibles à un problème : 2.a. Vérifier un alignementÀ partir de la classe de sixième Sur deux côtés consécutifs d'un carré construire deux Montre l'alignement des troisièmes sommets des triangles Sur du papier quadrillé, construire un carré ABCD, puis les triangles équilatéraux ABE, à l'intérieur du carré, et BCF, à l'extérieur Vérifier, avec la règle, que les points D, E et F sont alignés. – Avec GeoGebra, Mode immédiat : Avec la dixième icône, dans les sous menus de ABC « insérer un texte », utiliser « relation entre deux objets », Programmation : Créer le texte « Les points D, E et F sont alignés. », Figure interactive dans GeoGebraTube : carré et deux triangles équilatéraux | |
2.b.Vérifier qu'un angle est platCet exercice se traite plus simplement en utilisant les angles, solution adoptée par la plupart des manuels de cinquième. Solution On procède par calcul d'angles : L'angle DEF est plat : les points D, E et F sont alignés. |
Justification des angles de 75° et 45°
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2.c. Deux angles égauxClasse de cinquième Dans cette figure, calculer les mesures des angles CDF et CDE. Indications Le triangle isocèle CDF a un angle au sommet de 90° + 60° = 150° . d’où CDF = 15°. Le triangle isocèle ADE a un angle au sommet DAE de 30°. Dans l'angle droit ADC, CDF est le complémentaire de ADE, Les angles CDF et CDE sont égaux, les points D, E et F sont alignés. Un angle de 105°DLB = 105°. Dans le triangle DCL, rectangle en C, l'angle CLD complémentaire de CDL mesure 75°. Figure interactive dans GeoGebraTube : carré et deux triangles équilatéraux - angles | |
Un autre angle de 105°Construire un carré ABCD, puis le triangle équilatéral ABE, à l'intérieur du carré. Calculer la mesure de l'angle BKC. Indication Le triangle BKC a deux angles de 30° et 45°. La somme des angles d'un triangle est 180°. BKC = 180° - (30° + 45°) = 105° Figure interactive dans GeoGebraTube : lien ci-dessus | |
2.d. Avec la géométrie analytiqueClasse de seconde Méthode pas drôle du tout ! Dans le repère (A, , ), les coordonnées des points sont A(0, 0) ; Calculer les coordonnées des points E et F : Calculer les coordonnées des vecteurs et : x1 = ; y1 = – 1 ; x2 = + 1 ; y2 = – . Montrer que les vecteurs et sont colinéaires : Conclure : les vecteurs sont colinéaires, les points D, E et F sont alignés. Figure interactive dans GeoGebraTube : lien ci-dessus |
Vérifier un alignement avec GeoGebra 2.d.2. Équation de droite Il est aussi possible de calculer l'équation de la droite (DE) : (1 – )x + y = . Puis vérifier que les coordonnées de F vérifient cette équation. 2.d.3. Coefficients directeurs de droite Ou encore que les coefficients directeurs des droites aDE = – (1 – )/() et aDF = – ()/( + 1) sont égaux (≈ – 0,267). 2.d.4. Inégalité triangulaire Depuis la classe de cinquième, le cas de l'égalité DE + EF = DF est reconnue comme caractéristique de l'appartenance du point E au segment [DF]. Pour afficher un objet ou un commentaire lorsque trois points D, E et F, dans cet ordre sont alignés, créer les segments nommés DE, EF et DF puis dans les propriétés avancées de l'objet, utiliser l'inégalité triangulaire pour remplir la ligne condition pour afficher l'objet en tenant compte des erreurs d'arrondi : 2.e. Avec les complexes – Terminale S Choisir A comme origine du plan complexe Alignement de trois points – Capes Prouver de trois manières différentes l'alignement des trois points Voir aussi point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus |
Bibliographie La géométrie plane au lycée - Chevrier, Dobigeon - IREM de Poitiers, 1989 | |
3.a. Un point de concours et deux autres alignementsMiniatures géométriques sur un carré Les cercles circonscrits aux triangles équilatéraux ABE et BCF se recoupent en M. Le point M est aligné avec D, E et F. Il est aussi aligné avec A et C. Figure interactive dans GeoGebraTube : carré et triangles équilatéraux |
Démonstration : rotation de centre B et d'angle – 90°. La rotation de centre B et d'angle – 90° transforme le triangle équilatéral ABE en CBF. Le cercle (c) circonscrit à ABE a pour image le cercle (c’) circonscrit à CBF. Soit N le symétrique de M par rapport au centre O du cercle (c). Par la rotation, l'image du point N, du cercle circonscrit à CBF, est située sur le cercle circonscrit à CBF. Le point M est aligné avec A et C : L'image de la droite (AN) est la droite qui lui est perpendiculaire, passant par C, c'est donc la droite (CA). Le point M est aligné avec D, E et F : Le triangle équilatéral ABE et le triangle rectangle isocèle BNM ont la droite (BO) comme axe de symétrie. |
3.b. Vérifier un autre alignementUn triangle équilatéral est construit sur une diagonale d'un carré. ABCD est un carré de centre O, le milieu de [BD]. – Vérifier que les points A, O, C et F sont alignés. Indication Dans le triangle équilatéral BDF, on a FB = FD ; F est sur la médiatrice de [BD]. O, milieu de [AC] et F sont donc alignés avec A et C sur la droite (AC). Figure interactive dans GeoGebraTube : alignement sur la diagonale d'un carré Compléter cet alignement : exercices de géométrie au collège |
3.c. Deux alignements prouvés par une rotationAncienne classe de seconde ABCD est un carré direct. Montrer que : Démonstration • Par la rotation r(B, – ) le point A a pour image E, le point C a pour image F, et on appelle I’ l'image de D. L'image EBFI du carré ABCD a par l'isométrie r est un carré. L'image par r de [BD] est [BI] dons BD = BI et DBI = , BDI est donc un triangle équilatéral. • BI est alors égal à DI, le point I est donc sur la médiatrice de [BD], c'est-à-dire sur la droite (AC). Les points A, C et I sont alignés. Figure interactive dans GeoGebraTube : alignement prouvés par rotation |
3.d. Alignement d'un autre point• Placer le point J tel que BDJ soit un triangle équilatéral contenant le point A. {J est le symétrique de I par rapport à (BD).} J point de la médiatrice de [BD] est donc aligné avec A et C. Par la rotation r(B, – ) le point J a pour image D. A, C et J sont alignés, leurs images réciproques E, F et D par la rotation r– 1(B, ) sont donc alignées. Il est possible d'utiliser cette figure pour construire un triangle équilatéral (BDI) d'aire double d'un triangle équilatéral donné (ABE). L'angle de la droite (DF) et de son image (AC), par la rotation r est . On en déduit que l'angle CDI mesure et on retrouve les calculs trigonométriques pour un angle de , Figure interactive dans GeoGebraTube : alignement d'un quatrième point On retrouve le point K, appelé M dans les figures ci-dessus, comme point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles équilatéraux ABE et BCF. Voir aussi : triangle équilatéral inscrit dans un carré, aire maximale | |
4.a. Alignement avec le sommet d'un triangleClasse de seconde ABC est un triangle. Par B et C, on trace deux droites d1 et d2 parallèles. But du problème : montrer que A, I et J sont alignés.
Figure interactive dans GeoGebraTube : alignement avec le sommet d'un triangle et démonstration par les angles inscrits |
4.b. Petit théorème de PappusDémonstration par l'absurdeD'après Jean-Louis Ayme Supposons que A ne soit pas sur la droite (IJ). D'après le petit théorème de Pappus, les droites (BI) et (CJ’) sont parallèles. Figure interactive dans GeoGebraTube : alignement avec le sommet d'un triangle - Démonstration Géométrie analytiqueAvec GeoGebra, on peut se contenter de montrer que les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite (IJ). Calculs Choisir le point D à l'intersection de la parallèle à d1 passant par O et de la parallèle à (BC) passant par A. Dans le repère (O, C, D), les coordonnées des points de la figure sont : Le parallélisme se traduit par la colinéarité des vecteurs : = λ , d'où b = λ(a–1) et p = λ, soit p = b/(a–1) et I(b, b/(a–1)). La droite de coefficient directeur m passant par I a pour équation : Cette droite passe par J, si q – p = m(1–b), On vérifie que les coordonnées de A vérifient l'équation : |
4.c. Démonstration par les angles inscritsPar parallélisme des côtés : IOJ = BAC = α. Soit les cercles circonscrits à IOB et JOC qui se recoupent en K. Étudions les angles inscrits qui interceptent [OK] : Les suppléments de ces sommes sont égaux, donc BKC = IOJ = α. Montrons que K est aligné avec I et J, en calculant l'angle IKJ : Terminons en montrant que A est aligné avec I et J, en calculant l'angle IAJ, en passant par la somme des angles de divers triangles : En ajoutant et retranchant les angles ABK = ACK : D'où IAJ = IKB + BKC + CKJ = 180° : I, A et J sont alignés. Figure interactive dans GeoGebraTube ci-dessus | |
5. Trois points non alignésABC est un triangle rectangle en B tel que AB =13 et BC = 11. FBDE est un carré de côté 6, avec F sur [AB] et D sur [BC]. Le point E appartient-il au segment [AC] ? Exercices préférés pour la classe Solution Les points A, E et C ne sont pas alignés. 10 démonstrations Géométrie analytique : Droites non parallèles : les trois points A, E, C ne sont pas alignés car les deux droites (AE) et (AC) ne sont pas parallèles. Vecteurs : dans le repère d'origine A, les vecteurs (13, 11) et (7, 6) ne sont pas colinéaires, car les produits 13 × 6 et 11 × 7 sont différents. Barycentre : si le point E était un barycentre de A et C, un calcul avec la fonction vectorielle de Leibniz à partir du point A montre qu'il existerait un nombre k tel que = k . Angles Deux angles inégaux : les trois points A, E, C ne sont pas alignés car les angles BAE = 40,6° et BAC = 40,2° sont distincts Angle nul : l'angle CAE = 0,3° est différent de 0. Angle plat : l'angle AEC = 179° n'est pas égal à 180°. Inégalité triangulaire : la somme AE + EC n'est pas égale à AC. Thalès : les triangles ABC et AFE ne sont pas semblables : 6/7 est différent de 11/13. Homothétie : dans l'homothétie de centre A et de rapport 7/13, le triangle ABC a pour image AFE’ distinct du triangle AFE. Il y aurait d'autres démonstrations... Figure interactive dans GeoGebraTube : trois points non alignés | |
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