Descartes et les Mathématiques Les quadrilatères au collège en géométrie dynamiqueComment dessiner un quadrilatère ? Quadrilatère orthodiagonal, cerf-volant, pseudo-carré, quadrilatère inscriptible, antiparallélogramme. | |
Quadrilatères remarquables 1. Définitions 3. Trapèze 4. Chevron 6. Cerf-volant (géométrie) 7. Pseudo-carré |
8.c. Théorème de Ptolémée 8.d. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal Droites remarquables dans un quadrilatère 10. Bissectrices d'un quadrilatère |
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Quadrilatères remarquablesQuels sont les quadrilatères remarquables ? 1. DéfinitionsPolygone convexe, concaveen : quadrilateral Polygone convexe : polygone plan dont les sommets sont dans un même demi-plan par rapport à n'importe quel côté du polygone. Quadrilatère convexe, concave, croiséUn quadrilatère ABCD est un polygone qui a quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Un quadrilatère découpe le plan en deux zones, une bornée, l'intérieur du quadrilatère (coloriée par GeoGebra) et l'autre est l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère est croisé si pour chaque diagonale, les deux autres sommets sont dans un même demi-plan par rapport à cette diagonale ; Parmi les quadrilatères non croisés, on distingue les quadrilatères convexes et les quadrilatères concaves. Un quadrilatère est convexe si les deux diagonales sont concourantes ; Un quadrilatère est concave si pour au moins diagonale, les deux autres sommets sont dans un même demi-plan par rapport à cette diagonale.; | |
2. Quadrilatères particuliersOn peut classer les quadrilatères suivant les longueurs des côtés ou des diagonales, le parallélisme des côtés (trapèze, parallélogramme) ou leurs angles, l'orthogonalité des diagonales (cerf-volant), les éléments de symétrie (antiparallélogramme) ou l'inscription d'un cercle. En classe de 5e se fait l'étude du parallélogramme, préparée en 6e par les parallélogrammes particuliers : losange, rectangle ou carré. Quadrilatère quelconqueLe quadrilatère ABCD est un polygone convexe qui a : Télécharger la figure GéoPlan quadrilatere.g2w | |
Quadrilatère completLe quadrilatère complet, formé avec les points A, B, C et D, a : Télécharger les figures GéoPlan quadri_complet.g2w (quadrilatère nu), quadri_complet_diag.g2w (quadrilatère avec les diagonales) Retrouver cette figure dans diagonales d'un quadrilatère complet |
QuadrangleUn quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D Les six droites joignant les points deux à deux sont les côtés du quadrangle. Si le quadrangle est complet, les trois points diagonaux I, E et F sont les intersections des paires de côtés opposés. Télécharger la figure GéoPlan quadrangle.g2w Quadrangle inscriptible, voir : points caractéristiques du triangle Voir aussi : quadrangle orthocentrique |
Définition du quadrilatère completDéfinition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points. Remarques (lycée 1ère S - TS) : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif. Ici, nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes : Lycée 1ère S - TS, voir : plan projectif | |
Quadrangle quadrilatère completUn quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle. WikiPédia : Quadrilatère | |
Quadrilatère gaucheC'est un quadrilatère dont les quatre sommets n'appartiennent pas au même plan. | |
Quadrilatères quelconquesUn quadrilatère, autre que les quadrilatères usuels définis dans cette page, est dit quelconque. Un quadrilatère quelconque a ses côtés et ses diagonales de longueurs distinctes, ils ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires. Le quadrilatère quelconque n'a pas de symétrie et n'est pas inscrit dans un cercle. Technique GéoPlan : calcul de l'aire d'un quadrilatèreIl n'y pas de fonction dans le logiciel pour calculer l'aire d'un quadrilatère. Avec GéoPlan, comme souvent dans la vie courante, on peut le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales. Calculer l'aire de chacun des triangles formés par cette diagonale et deux côtés consécutifs correspondants, puis additionner les deux aires. s1 aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy) Il est aussi possible de transformer un quadrilatère convexe en triangle. | |
3. TrapèzeDéfinition du trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ; lorsque le trapèze n'est pas un parallélogramme, les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base. Certains imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui exclut le « trapèze croisé ». Les côtés non parallèles se coupent en I. Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S). Figure interactive dans GeoGebraTube : Trapèze | |
Propriétés du trapèzeUn quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s'il possède une paire d'angles consécutifs de somme égale à 180 degrés. Trapèzes particuliers Quadrilatère ayant deux angles droits Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède un angle droit. Un trapèze rectangle, qui n'est pas un carré, a exactement deux angles droits. Télécharger la figure GéoPlan trapeze_rect.g2w |
Aire du trapèze rectangle On applique la formule générale pour l'aire du trapèze : L'aire d'un trapèze est égale au produit de la moyenne des bases par sa hauteur, La hauteur est alors égale à la longueur du côté perpendiculaire aux bases, ici égale à AD : b = AB, b’ = CD, h =AD : Aire(ABCD) = × h. Voir aussi : seconde : partage en deux d'un trapèze rectangle 1S : diagonales orthogonales d'un trapèze rectangle avec le produit scalaire 1L : aire maximum d'un rectangle inscrit dans un trapèze rectangle |
Trapèze isocèleUn quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes : Les côtés non parallèles se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie. Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés sur l'axe de symétrie. Figure interactive dans GeoGebraTube : Trapèze isocèle WikiPédia Trapèze Images trapèze isocèle, fi Deux droites parallèles coupent un cercle selon un trapèze isocèle ; voir : • Réciproque : une construction de parallèle Voir : aire du trapèze | |
4. Quadrilatère concave : chevronQuadrilatère non convexeQuadrilatère concaveLe Chevron ABMC est un exemple de quadrilatère non convexe : la diagonale [BC] est à l'extérieur du quadrilatère. Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC), | |
5. Quadrilatère orthodiagonalQuadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires. Quadrilatère orthodiagonal convexe |
Chevron orthodiagonal non convexe |
Autre chevron |
Quadrilatère orthodiagonal inscrit dans un rectangleQuadrilatères orthodiagonaux particuliers avec un axe de symétrie: cerf-volant, avec un centre de symétrie : losange Quadrilatères orthodiagonal particulier inscrit dans un carré : pseudo-carré, Cas particulier : carré |
Chevron inscrit dans un rectangle |
Quadrilatère orthodiagonal croisé.Télécharger la figure GéoPlan quadri_orthodiagonal.g2w |
Calcul de l'aire du quadrilatère orthodiagonal non croiséLe quadrilatère orthodiagonal convexe ABCD, de la troisième figure ci-dessus, est inscrit dans un rectangle. Formule de l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal L'aire d'un quadrilatère orthodiagonal ABCD est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales : Aire(ABCD) = AC × BD. (Conforme au cas général étudié au lycée : l'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment – Le sinus d'un angle droit vaut 1.) Ce résultat est encore valable pour les chevrons orthodiagonaux : Ce calcul ne permet pas de trouver l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal croisé – Le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des diagonales. Exemple de calcul d'aire d'un quadrilatère non convexe, non croisé, voir : prenons de la hauteur | |
6. Cerf-volant isocèle (géométrie)Classe de sixième Un quadrilatère convexe, dont une diagonale coupe l’autre en son milieu, est un cerf-volant. En sixième, on n'étudie pas ce quadrilatère, mais uniquement le cerf-volant isocèle, symétrique par rapport à une diagonale. En géométrie plane, le cerf-volant isocèle est un quadrilatère orthodiagonal symétrique par rapport à une de ses diagonales. On le nomme aussi rhomboïde : quadrilatère en forme de losange. |
Cerf-volant convexe inscrit dans un rectangleL'aire du cerf-volant ABCD est égale à la moitié de celle du rectangle, de côtés de longueurs AC et BD: |
Pointe de flèche (ou fer de lance) |
Le cerf-volant isocèle est un quadrilatère tangentiel |
Le cerf-volant ABCD étant un quadrilatère orthodiagonal non croisé, son aire est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales : La pointe de flèche, cerf-volant concave, ne doit pas être écartée de l'étude des quadrilatères en classe de 6e. Cerfs-volants particuliers : losange, carré. Cercle inscrit dans un cerf-volantLe cerf-volant est un quadrilatère tangentiel : les quatre côtés sont tangents à un même cercle, inscrit dans le quadrilatère. Classe de troisième ABCD est un cerf-volant convexe. Tracer le point I, intersection de la bissectrice de l'angle ABC – angle de côtés de longueurs différentes – avec l'axe de symétrie (AC) du cerf-volant. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, et en raison de la symétrie, ce cercle est inscrit dans le quadrilatère. Le cercle inscrit est construit grâce au point H, projection orthogonale de son centre I sur le côté [AB]. Télécharger les figures GéoPlan cerf_volant.g2w, cerf_volant_cercle_inscrit.g2w Rétrolien WikiPédia : Cerf-volant | |
7. Pseudo-carréPseudo-carré : quadrilatère orthodiagonal dont les deux diagonales sont de même longueur. Télécharger la figure GéoPlan pseudo_carre.g2w Exemples, voir : Quadrilatères dans la planche à clous Rétrolien WikiPédia : Pseudo-carré Voir aussi : droite de Van Aubel dans le triangle Cas particulier : carré. |
Pseudo-carré ; quadrilatère orthodiagonal inscrit dans un carréLe pseudo-carré convexe est inscrit dans un carré. L'aire du pseudo-carré ABCD est égale à la moitié de celle du carré, de côté la longueur d'une diagonale : |
8. Quadrilatère inscriptible - Points cocycliquesClasse de 3e Définitions Des points cocycliques sont situés sur un même cercle. Un quadrilatère est inscriptible si (et seulement si) deux angles opposés sont égaux ou supplémentaires. Exercice ABCD est un quadrilatère inscrit, dans un cercle de centre O, tel que l'angle ADC = 72°. Figure : construire une diagonale [AC] qui sous-tend un angle de 72° avec la construction de Ptolémée | |
8.a. Quadrilatère convexePlacer les deux sommets D et B sont de part et d'autre, au-dessus et en dessous, de la diagonale [AC]. Le quadrilatère convexe ABCD est inscriptible : deux angles opposés sont supplémentaires. ABC + ADC = ABC + 72° = 180°, d'où ABC = 108°. Télécharger la figure GéoPlanquadri_inscrit_72.g2w |
8.b. Quadrilatère croisé (papillon)Placer B et D d'un même côté, en dessous de la diagonale [AC]. Le quadrilatère croisé ABCD est inscriptible : deux angles opposés sont de même mesure. ABC = ADC = 72°. Pour d'autres figures, voir la page : angles inscrits |
8.c. Théorème de PtoléméeThéorème : un quadrilatère convexe est inscriptible, si et seulement si la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales. Avec les notations de la figure ci-dessus : AB × CD + BC × DA = AC × BD. Démonstration, voir : cercle en seconde Télécharger la figure GéoPlan ptolemee.g2w |
8.d. Quadrilatère inscriptible orthodiagonalClasse de seconde Théorème de Brahmagupta (mathématicien indien du VIIe siècle) : si les diagonales d'un quadrilatère inscriptible sont perpendiculaires l'une à l'autre et se coupent en un point O, une droite passant par O et perpendiculaire à l'un quelconque des côtés coupe le côté opposé en son milieu. Démonstration, voir : cercle en seconde Cercle des huit points d'un quadrilatère orthodiagonal, voir en 1ère S : produit scalaire L'aire du quadrilatère orthodiagonal, AC × BD, est minimale lorsque le centre J du cercle est situé sur une des diagonales, Télécharger la figure GéoPlan qua_insc.g2w |
8.e. Quadrilatère tangentiel (ou circonscriptible)Cercle inscritPour qu'un quadrilatère convexe possède un cercle inscrit, il faut que ses bissectrices soient concourantes. Leur point d'intersection est alors le centre du cercle. GéoPlan permet de tracer directement ce cercle avec l'instruction : « Créer>Ligne>Cercle>Cercle défini par centre et tangente ». Quadrilatère tangentielLes quatre côtés sont tangents à un même cercle, inscrit dans le quadrilatère. Théorème de Pitot, démontré en 1725 par l'ingénieur français Henri Pitot : dans un quadrilatère tangentiel, la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres. Pour le démontrer, il suffit de décomposer ces quatre longueurs, selon les points de tangence, en huit longueurs égales deux à deux. Les cerfs-volants, losanges et carrés sont des quadrilatères tangentiels Quadrilatère bicentrique : quadrilatère à la fois inscriptible et tangentiel. | |
9. AntiparallélogrammePropriétés des quadrilatères croisésRappel : les deux diagonales d'un quadrilatère croisé sont à l'extérieur du quadrilatère. Pour calculer l'aire, décomposer le papillon en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des côtés. Papillons particuliers : • Inscriptible, • antiparallélogramme :Un antiparallélogramme ABCD est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés sont de même longueur, deux à deux : Dans un antiparallélogramme les angles opposés ont la même mesure. Les diagonales (AC) et (BD) sont parallèles. Télécharger la figure GéoPlan antiparallelogramme.g2w |
L'antiparallélogramme admet un axe de symétrie qui est la médiatrice des diagonales. Deux côtés opposés ont leur point d'intersection situé sur cette médiatrice. Le quadrilatère convexe ABDC formé par les deux côtés non croisés et les diagonales est un trapèze isocèle. Un antiparallélogramme est un quadrilatère inscriptible (les quatre sommets sont cocycliques, car les angles ABC et ADC sont égaux). Un antiparallélogramme, n'étant pas convexe, n'est pas un parallélogramme.
Figure articuléeAD = BC = a ; AB = CD = b ; a > b. Si les sommets A, B, C et D sont articulés, la figure varie, Démonstration : elle se fait, après le bac, en considérant la puissance du point C par rapport au cercle de centre B passant par A : Télécharger la figure GéoPlan antiparallelogramme_puissance.g2w |
Droites remarquables des quadrilatères (au lycée)10. Bissectrices d'un quadrilatèreLes intersections des bissectrices intérieures d'un quadrilatère forment un quadrilatère inscriptible. Démonstration Calcul d'angles en radians au lycée Montrer que s = (, ) + (, ) = π (modulo 2π). Par angles égaux (éventuellement opposés par le sommet) on a :
La somme des angles d'un triangle étant égale à π, dans les triangles MAD et PCB on a : Les bissectrices partagent en deux les angles du quadrilatère : La somme des angles du quadrilatère est 2π : Les angles opposés (, ) et (, ) sont supplémentaires. Le quadrilatère MNPQ est inscriptible. Télécharger la figure GéoPlan bissectrice_quadrilatere.g2w Retrouver cette figure : turbicône Cas particulier : bissectrices d'un parallélogramme | |
11. Médianes d'un quadrilatèreABCD est un quadrilatère quelconque et I, J, K, L les milieux de ses côtés. Définition : les médianes d'un quadrilatère (bimédianes) sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés d'un quadrilatère. Propriété : les deux médianes sont concourants au point G, centre de gravité du quadrilatère. situé au milieu de chaque médiane, car elles sont les diagonales du parallélogramme IJKL de Varignon. Par abus de langage, on dit parfois que G est le centre du quadrilatère ; Figure interactive dans GeoGebraTube : Médianes et centre de gravité d'un quadrilatère Voir aussi le centre d'Euler du quadrilatère. Voir : théorème de Varignon Le centre de gravité comme point de concours de trois droites, voir : barycentre. | |
12. Médiatrices d'un quadrilatèreLes médiatrices d'un quadrilatère ABCD se coupent en P, Q, R et S. Déplacer les points A, B, C ou D. Étudier les cas particuliers. Le point P est confondu avec Q, qu'en est-il de R et S. Montrer que les points A, B, C, D sont alors cocycliques sur un cercle de centre P. Les angles BAD et SPQ sont supplémentaires…Commande GéoPlan : taper C pour le cercle circonscrit à BCD. Télécharger la figure GéoPlan quadri_mediatrice.g2w |
Médiatrices d'un parallélogramme(PQ) et (RS) sont parallèles… Télécharger la figure GéoPlan para_mediatrice.g2w |
Médiatrices d'un cerf-volant(géométrie)ABCD est un cerf-volant d'axe de symétrie (BD). PQRS est aussi un cerf-volant d'axe de symétrie (BD). Télécharger la figure GéoPlan cerf_volant_mediatrice.g2w |
Médiatrices d'un losangePQRS est aussi un losange ayant les mêmes diagonales que ABCD. Télécharger la figure GéoPlan losange_mediatrice.g2w |
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