Descartes et les Mathématiques
Le carré au collège
Exercices de géométrie dynamique sur le carré : deux, trois, cinq ou huit carrés.
Sommaire
3. Le carré dans une planche à clous
4. Somme ou différence de deux carrés
Sulbasutras
Construction de Bhaskara
5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré
Construction d'Abu l-Wafa
6. Triangle rectangle de petits côtés 1 et 2
8. Huit carrés - Somme de trois angles
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Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points
Le carré dans la planche à clous
Carrés et rotation
Orthocentre d'un triangle inscrit dans un carré
Le carré avec la géométrie dynamique
Multiplication par 5 de l'aire d'un carré
Carré dont les côtés passent par quatre points
Découpage d'aires dans un carré : exercices de-ci, de-là
Composer deux carrés avec quatre quadrilatères égaux : puzzle de Périgal
Droites perpendiculaires dans un carré : utiliser un orthocentre
Aire minimale de deux carrés dans un carré
Lieux géométriques :
– le carré mobile
– le carré variable
Calculs d'angles dans un carré en 1ère S : produit scalaire
Problèmes d'inscription
Carré inscrit dans un triangle
Trois carrés autour de BOA inscrits dans un triangle :
voir problème de Grèbe
Carré inscrit dans un demi-cercle
Carré inscrit dans un quadrilatère
Sangaku : cercle et carré
Triangle inscrit dans un carré
Figure de base
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1. Construire un carré
Classe de cinquième
1.a. Construction du carré à partir d'un côté
Construction d'Euclide - Proposition 46
Tracer un carré en connaissant deux sommets consécutifs A et B
Tracé du carré à partir de perpendiculaires
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A et reporter sur cette perpendiculaire la longueur du côté avec le cercle de centre A passant par B.
Le sommet D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle.
Construire les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B.
Construire le point C comme intersection de ces deux parallèles.
ABCD est un carré de côté [AB].
Variante : après la construction de D, construire les perpendiculaires à (AB) en B et à (AD) en D.
Construire le point C comme intersection de ces deux perpendiculaires.
Construction de Marolois : après la construction de D, construire la perpendiculaire à (AB) en B. Reporter en C, sur cette deuxième perpendiculaire, la longueur du côté avec le cercle de centre B passant par A.
Tracer le côté [CD] parallèle à (AB).
1.b. À partir d'un côté et du cercle circonscrit
« Comment tracer un carré au compas ;
Tracer un carré dans un cercle ! »
Construction du carré inscrit dans un cercle
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer la médiatrice de [AB] et le cercle de diamètre [AB].
Remarque : avec la règle et le compas, tracer le cercle de centre A, passant par B, et le cercle de centre B passant par A.
La droite joignant les points d'intersection des deux cercles est la médiatrice de [AB].
Le centre O du carré est un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle de diamètre [AB].
Le cercle (c) de centre O, passant par A, est le cercle circonscrit au carré.
Le sommet C est le deuxième point d'intersection de la droite (AO) et du cercle circonscrit (c).
De même, D est l'intersection de (BO) et du cercle (c).
ABCD est un carré de côté [AB] inscrit dans le cercle (c).
Voir : calcul de la longueur du côté d'un carré inscrit dans un cercle
Voir aussi : carré inscrit dans un demi-cercle
1.c. Diagonale du carré
Comment calculer la longueur d'une diagonale d'un carré
Les deux diagonales du carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu :
Pour la diagonale [AC], étudier un des triangles rectangles ABC ou ADC, et y calculer AC avec le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2 a2, pour un carré de côté AB = a.
La longueur d'une diagonale, du carré de côté a, est a
.
Construction du carré à partir d'une diagonale
Inscrire un carré dans un cercle de diamètre [AC]
Tracer un carré sans équerre
Placer deux sommets opposés A et C (ou bien le centre O et un sommet A),
tracer le cercle (c) de centre O, milieu de [AC]. Tracer [AC], diamètre du cercle circonscrit au carré.
Tracer la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D.
ABCD est un carré.
Remarque : la règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre C passant par A, qui se coupent en E et F.
(EF) est la médiatrice de [AC].
Longueur du côté d'un carré inscrit dans un cercle :
en classe de quatrième, on calculera la longueur du côté du carré avec la relation de Pythagore dans le triangle OAB :
OA2 + OB2 = AB2 ; soit 2r2 = AB2 ; d'où AB = r où r est le rayon du cercle (c).
Remarque : La meilleure façon de construire un carré n'est pas de le générer à partir d'un côté, mais de le générer à partir d'un centre de rotation O et d'un sommet A. Le carré ainsi fabriqué est invariant par quart de tour, a ses côtés égaux et ses angles égaux à 90°.
La figure ci-contre permet aussi de construire un carré à partir du cercle circonscrit.
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1.d. Sulbasutra
Construction du carré à partir d'une médiatrice
Construction de Baudhayana,
texte rituel de l'Inde védique,
rédigés en sanskrit vers le VIIIe siècle avant J.-C.,
issus de tradition orale remontant à plus de 2000 ans avant notre ère.
Si l'on veut un carré, prendre une corde de longueur égale au carré donné, faire des nœuds aux deux extrémités et une marque en son milieu.
On trace la ligne et on plante un piquet en son milieu. On fixe les deux nœuds et on trace un cercle avec la marque.
Deux piquets sont plantés aux deux extrémités du diamètre. Un nœud étant fixé à l'est, on trace un cercle avec l'autre. Même chose à l'ouest.
Le second diamètre est obtenu des points d'intersection de ces deux ; on plante deux piquets aux deux extrémités du diamètre.
Avec deux nœuds fixés à l'est, on trace un cercle avec la marque ; on fait la même chose au sud, à l'ouest et au nord.
Les points d'intersection donnent le carré.
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Texte en langage moderne
Tracer le diamètre [OE] de longueur le côté du carré a, et une marque en son milieu I.
Tracer le cercle de centre E et de rayon a. Même chose à l'ouest avec un cercle de centre O. On obtient les points d'intersection G et H, et le cercle de centre I et de rayon a/2 permet d'obtenir le second diamètre [SN].
On trace les cercles de centres E, S, O, N de rayons a/2. Les points d'intersection donnent le carré ABCD.
1.e. Voir : construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre
1.f. Aire du carré
Carré inscrit dans un cercle
ABCD est un carré de côté a = AB et diagonale d = AC.
L'aire du carré de côté a est a2.
Calculer la longueur du coté d un carré avec son aire : a = racine(Aire).
Calcul de l'aire avec la diagonale du carré
d = a, d'où a = d × 
et Aire(ABCD) = a2 = d2 × 
.
L'aire du carré de diagonale d est d2.
Calcul d'aire avec un carré inscrit dans un cercle
Le carré ABCD est inscrit dans un cercle de diamètre d.
Vérifier que l'aire de la portion du disque extérieure au carré (coloriée en bleu clair) est :
d2(
– ).
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2. Deux duplications du carré
Classe de quatrième
2.a. Tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné.
Paragraphe extrait de la page grands problèmes de la géométrie grecque.
Duplication du carré avec une diagonale
Dans Ménon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-dessus à un jeune esclave.
La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire.
Le rapport des aires des carrés est 2,
Le rapport des côtés est .
En terminale S, étudier la similitude de centre A, d'angle 45° et de rapport . Elle transforme le carré ABCD en ACEF.
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Les carrés de Léonard de Vinci
Problèmes de construction
– À partir d'un point A, construire le carré ABCD inscrit dans le cercle (c) ;
– Comme ci-dessous, construire le carré EFGH circonscrit au cercle (c), les côtés des carrés parallèles deux à deux.
Comme ci-dessus à gauche, les côtés de EFGH tangents au cercle en A, B, C et D.
Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.
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Solution de la duplication de Léonard de Vinci
À partir d'un « petit carré » ABCD, de centre O, on trace les cercles centrés sur les sommets, passant par O. Ces cercles se coupent en E, F, G, H, symétriques de O par rapport aux côtés du petit carré. EFGH est un « grand carré » tangent au cercle circonscrit à ABCD.
Les diagonales du « petit carré » le partagent en quatre triangles isocèles rectangles. On obtient le « grand carré » avec quatre autres triangles isocèles rectangles de même aire, symétriques des quatre premiers.
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2.b. Cloître - Carré d'aire moitié
Olympiades 2008 - Toulouse
Un cloître est constitué d'une cour intérieure centrale entourée d'une galerie latérale.
La forme des cloîtres est généralement carrée et, est telle que l'aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale.
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Proposer une méthode permettant de tracer dans l'enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître
Tracer les deux diagonales et le centre O du grand carré,
soit I le milieu d'un des côtés du carré, le cercle de centre O, passant par I, coupe les diagonales aux coins cherchés de la cour.
En effet, si L est la longueur du côté du grand carré, le rayon du cercle est 
.
La diagonale du petit carré mesure L,
la longueur du côté de ce carré est l = 
,
son aire l2 est bien la moitié de L2, aire du grand carré.
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3. Le carré dans une planche à clous
Retrouver ces figures GeoGebra dans la page : la planche à clous
Carré d'aire 2
Carré d'aire 5
Quatre carrés
Carré d'aire 10
Carré d'aire 2 dans un géoplan 3 × 3
Aire(ABCD) = 4 × = 2.
Les diagonales se coupent en leur milieu O, sont de même longueur et sont perpendiculaires.
Figure interactive dans GeoGebraTube carré dans le géoplan 3 × 3
Carré d'aire 5 dans un géoplan 4 × 4
Le carré ABCD, formé du carré central A’B’C’D’ unitaire, et de quatre triangles rectangles AA’B, BB’C, CC’D, DD’A d'aires 1.
Aire(ABCD) = 1 + 4 × 1 = 5.
Voir, ci-dessous, la figure du moulin à vent
Quatre carrés dans un géoplan 5 × 5
Aire(MNPQ) = 16,
Aire(ABCD) = 8,
Aire(IJKL) = 4,
Aire(A’B’C’D’) = 2.
Carré d'aire 10
Aire(ABCD) = 4 + 4 × 1,5 = 10,
Aire(ABCD) = 16 – 4 × 1;5 = 10.
L'aire est obtenue en ajoutant ou en retranchant, à l'aire d'un carré, les aires de quatre triangles rectangles, d'aires 1,5.
4. Carré d'aire la somme des aires de deux carrés
Construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires de deux carrés
4.a. Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés : applications du théorème de la diagonale.
Variations autour de Pythagore
Théorème de la diagonale (Inde védique)
Le carré produit par la diagonale d'un rectangle est égal à la somme des carrés produit par les deux côtés du rectangle.
4.b. Carré somme de deux carrés
Dessiner le moulin à vent d'Euclide en traçant deux carrés CBED et ACFG de côtés a et b à l'extérieur d'un angle droit en C.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ABIH de côté AB = c.
Par le théorème de Pythagore, l'aire du grand carré est égale à la somme des aires de deux carrés.
Commande : déplacer les points A ou B sur les côtés de l'angle droit.
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4.c. Différence de deux carrés
Construire un carré d'aire différence de deux carrés de côtés c et a
Réaliser la figure du moulin à vent avec le tracé d'un carré ABIH de côté c.
Sur le demi-cercle de diamètre [AB], placer le point C et le long de [AC] construire le carré CBED de côté a.
Compléter le triangle rectangle ABC et construire le carré ACFG de côté b.
L'aire de ce carré est égale à la différence des aires des deux premiers carrés.
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4.d. Construction de Bhaskara
Construire un carré de côté b−a
Construire un triangle rectangle A’O’B’ en O’ tel que O’A’ = a et O’B’ = b, avec b > a.
Construire un carré ABCD, avec un côté de longueur A’B’.
Sur les demi-cercles ayant pour diamètre les côtés du grand carré, sont placés les points O, P, Q et R formant les sommets de quatre triangles rectangles du pourtour, triangles de petits côtés de longueurs a et b.
Le quadrilatère OPQR est un carré de côté de longueur b − a.
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4.e. Sulbasutra
Construire un carré somme de deux carrés
Si l'on rassemble deux carrés de tailles différentes, que l'on trace à l'aide du côté du plus petit une bande du plus grand, la corde diagonale de cette bande est le côté du carré constitué des deux carrés rassemblés.
EB est la longueur du côté du carré d'aire égale à la somme des aires des carrés contigus ACDE de côté a et ABFG de côté b.
Avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore.
Dans le triangle ABE rectangle en A,
on a : EB2 = EA2 + AB2 = a2 + b2.
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4.f. Sulbasutra
Construire un carré différence de deux carrés
IJ est la longueur du côté du carré d'aire égale à la différence des aires des carrés contigus ACDE et ABFG.
Justifications
Dans le triangle rectangle IJE, la relation de Pythagore donne :
IJ2 = EJ2 - IE2 = a2 - b2.
Télécharger la figure GéoPlan diff2carre_sulbasutra.g2w
Voir aussi : construction du carré à partir d'une médiatrice
Problème : somme de trois carrés
Construire un carré dont l'aire soit égale à la somme des aires de trois carrés donnés.
Géométrie des Sulbasutras - Publimath
4.g. Carrés contigus
Construction à partir de deux carrés contigus BCFG et DEHF, de côtés a et b.
Une recherche guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus permet dans le cas général, aux élèves, de trouver une solution autour de la diagonale [BE] :
On voit apparaître deux triangles rectangles, on construit alors un carré et on complète en traçant les verticales et les horizontales, pour obtenir la figure de Clairaut, à droite ci-contre.
Démonstration visuelle du théorème de la diagonale
Le carré ABKE de diagonale [BE] est solution.
Justifier cette construction par l'isométrie des triangles rectangles de sommets C et H, D et G : le triangle CBA est déplacé en HKE et le triangle DEA est déplacé en GKB
Télécharger la figure GéoPlan som2carre.g2w
Puzzle de Clairault
Retrouver cette configuration dans : similitude au bac
4.h. Carrés opposés par le sommet
Construire deux carrés EBCF et EDHK, de côtés a et b, aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet E en commun.
Une recherche, guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus, permet aux élèves, dans le cas général, de trouver une solution en construisant un carré à partir de [BK] ou de [FD].
Télécharger la figure GéoPlan som2carre2.g2w
Retrouver cette configuration dans : carrés du BOA,
similitude au bac
Carré ABKG solution, construit à partir du segment [BK].
On retrouve la figure de la démonstration de Pythagore des quatre triangles.
4.i. Puzzle de Gougu
Chine : puzzle reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui, époque Han, IIIe siècle
Translation hors programme
Puzzle de cinq pièces permettant de démontrer le théorème de Pythagore en déplaçant trois pièces.
Par translation de trois triangles parallèlement aux diagonales du grand carré, on passe de deux carrés contigus au grand carré d'aire égale à la somme des aires de deux petits carrés.
Ce puzzle est une des preuves du théorème de Pythagore.
Télécharger la figure GéoPlan puzzle_gougu.g2w
5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré
Construction d'Abu l-Wafa
Figure interactive de olivierl2 dans GeoGebraTube : trisection du carré par Abu'l Wafa
Voir aussi : problème d'Abul-Wafa - Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré
Réciproque : trisection du carré si b = a
Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan.
Autour d'un carré ABCD de côté a, on place quatre triangles isocèles identiques de telle façon que le sommet d'un des deux angles de 45° de chaque triangle tombe sur un des sommets du carré ABCD et l'hypoténuse le long du côté du carré.
En joignant les sommets des angles droits des triangles rectangles, on obtient un carré EGIK.
On montre facilement que EGIK est un carré.
On montre ensuite que chacun des quatre triangles, dépassant du carré EGIK, est égal à un triangle manquant à l'intérieur du carré.
Par exemple, EDGF est un parallélogramme, car (EF)//(DG) et EF = DG.
Le point M d'intersection de [EG] et de [DF] est le milieu de ces diagonales.
Le triangle excédent EMF est symétrique, par rapport à M, du triangle manquant GMD. Leurs aires sont égales.
Le carré EGIK a une aire égale à l'aire de ABCD et quatre fois l'aire du triangle rectangle AFE.
Lorsque AE = AD = a, le triangle ABCD a une aire triple du carré ABCD.
Si a est le côté de ABCD et b est la longueur des petits côtés des triangles rectangles isocèles ;
AE = DG = CI = BK = b ; le carré EGIK a une aire égale à a2 + 2b2.
Le carré EGIK a alors une aire égale à l'aire d'un carré de côté a et de deux carrés de côtés b.
Voir : la trisection du carré de Christian Blanvillain
6.a. Triangle rectangle de petits côtés 1 et 2
Figure du moulin à vent d'Euclide dans un quadrillage.
Le carré BCHI et formé du petit carré central et de quatre triangles rectangles isométriques à ABC d'aires 1.
Son aire totale est de 5 et on retrouve le calcul de la longueur de l'hypoténuse BC, qui mesure 
.
Figure interactive dans GeoGebraTube : moulin à vent d'Euclide dans un quadrillage
Retrouver ce tracé dans la page : la planche à clous
6.b. Puzzle : reconstituer un carré avec 5 carrés alignés
On aligne cinq carrés égaux consécutifs.
Reconstituer un carré.
6.c. Autres carrés à l'intérieur d'un carré
Sur les côtés d'un carré ABCD placer quatre points I, J, K et L tels que :
AI = BJ = CK = DL.
La droite (IC) est perpendiculaire à (LB).
PQRS est un carré.
Les carrés ABCD et PQRS ont même centre, centre de la rotation, d'angle 90°, qui rend la figure invariante.
Télécharger la figure GéoPlan mul_car.g2w
6.d. Quatre carrés à l'intérieur d'un carré
Cas particulier
Sur les côtés d'un carré ABCD placer quatre points I, J, K et L tels que :
AI = BJ = CK = DL = 
AB
PQRS est un carré,
Son aire est égale à 
de l'aire de ABCD.
Les médiatrices des côtés de PQRS rencontrent les côtés de ABCD à leur tiers (les intersections de la médiatrice de [SP] avec les côtés [AB] et [CD] sont les milieux de [AI] et de [KC]. De même on a les milieux de [BJ] et [DL].)
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7. Les trois carrés accolés
On aligne sur les figures ci-dessous trois carrés contigus égaux.
7.a. Somme de deux angles
Quelle est la somme des deux angles marqués x et y ?
La somme des deux angles vaut 45°.
Cinq méthodes pour le démontrer :
Calculs trigonométriques au lycée
7.a.1. En choisissant comme unité le côté d'un carré,
vérifier que AE = 
; cos x = 
;
sin x = 
;
BE = ; cos y = 
;
sin y = 
et la formule d'addition :
cos(x+y) = cos x cos y − sin x sin y
permettent de trouver cos(x+y) = 
, d'où x+y = 45°.
7.a.2. Pour amateurs de trigonométrie plus chevronnés,
remarquer que tan x = 
, tan y = .
Avec la formule tan(x+y) = 
il vient : tan(x+y) = 1, et donc toujours x+y = 45°.
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7.a.3. Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle
La rotation de centre B d'angle 90° transforme le triangle rectangle BEC en BFA, C a pour image A, d'où l'angle CBA mesure 90°. [BC] a pour image [BA], donc BC = BA. L'angle aigu BÂC du triangle rectangle isocèle, égal à la somme x + y, vaut 45°.
7.a.4. La réciproque de la propriété de Pythagore permet de le vérifier.
En choisissant comme unité le côté d'un carré, ceux du triangle ABC ont pour longueurs :
AB = , BC = et AC = .
ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
La somme x + y, égale à la mesure de l'angle aigu BÂC, vaut donc 45°.
Télécharger la figure GéoPlan mon_199s.g2w
Retrouver cette figure : prise2tete
7.a.5. Triangles rectangles semblables
En choisissant comme unité le côté d'un carré, on a :
DE = 1 et BD = 2,
dans le triangle rectangle BDE on a :
tan y = DE/DB = .
Soit P le symétrique de C par rapport à F et Q le symétrique de G par rapport à B, APQE est un rectangle.
Sa largeur est PE = et sa longueur PA = 2.
Dans le triangle rectangle APE,
tan(EÂP) = PE/PA = .
Les triangles rectangles BDE et APE sont semblables : y = EÂP.
La somme x + y, égale à l'angle DÂP, vaut donc 45°.
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7.b. L'embarras du choix
Pour montrer que les deux angles marqués x et z sont égaux, utiliser une des quatre autres méthodes suivantes :
7.b.1. Calculs géométriques faisant intervenir des sommes d'angles
Avec y = DÂF, on a x + y = x + DÂF = 45°, somme trouvée en a.3 ci-dessus.
On a y + z = DÂF + FÂG = DÂG = 45°.
Soit x + y = y + z et en simplifiant par y : x = z.
Classe de seconde ou première
7.b.2. Calculer cos(x + 45°) dans le triangle AHF.
7.b.3. Calculer cos x avec Al-Kashi dans le triangle AGF.
7.b.4. Utiliser la loi des sinus : HF/sin x =… dans le triangle AHF.
Télécharger la figure GéoPlan mon_199b.g2w
7.c. Prouver un alignement
Classes de troisième - seconde
J est le milieu de [AG].
Montrer que les points C, I et J sont alignés.
Pour cela, trouver la position du point I sur [BG] et dire ce que représentent le point I et la droite (CJ) dans le triangle ACG.
Télécharger la figure GéoPlan mon_199c.g2w
8. Huit carrés - Somme de trois angles
On aligne comme sur la figure ci-dessous huit carrés égaux.
Quelle est la somme des trois angles marqués x, y et z ?
La somme des trois angles vaut 45°.
Télécharger la figure GéoPlan huit_carres.g2w
Classe de 5e, voir : un triangle dans un rectangle
Table des matières
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Expressions clés :
tracer un carré,construire un carré, dessiner un carré, construire un carré à partir d'une diagonale,
duplication du carré, construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires de deux carrés.
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