Le carré au collègeExercices de géométrie dynamique sur le carré : deux, trois, cinq ou huit carrés. | |
Sommaire3. Le carré dans une planche à clous 4. Somme ou différence de deux carrés Sulbasutras 5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré Construction d'Abu l-Wafa 6. Triangle rectangle de petits côtés 1 et 2 8. Huit carrés - Somme de trois angles
Carré et deux triangles équilatéraux - Alignement de trois points Le carré dans la planche à clous Carrés et rotationOrthocentre d'un triangle inscrit dans un carré |
Le carré avec la géométrie dynamique Multiplication par 5 de l'aire d'un carré Carré dont les côtés passent par quatre points Découpage d'aires dans un carré : exercices de-ci, de-là Composer deux carrés avec quatre quadrilatères égaux : puzzle de Périgal Droites perpendiculaires dans un carré : utiliser un orthocentre
Lieux géométriques : – le carré variable Calculs d'angles dans un carré en 1ère S : produit scalaire Problèmes d'inscription Carré inscrit dans un triangle Trois carrés autour de BOA inscrits dans un triangle : Carré inscrit dans un demi-cercle Carré inscrit dans un quadrilatère Sangaku : cercle et carré Triangle inscrit dans un carré |
Figure de base
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1. Construire un carréClasse de cinquième 1.a. Construction du carré à partir d'un côtéConstruction d'Euclide - Proposition 46 Tracer un carré en connaissant deux sommets consécutifs A et B Tracé du carré à partir de perpendiculaires![]() Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB], Le sommet D est un des points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle. Construire les parallèles à (AB) passant par D et à (AD) passant par B. ABCD est un carré de côté [AB]. Variante : après la construction de D, construire les perpendiculaires à (AB) en B et à (AD) en D. Construction de Marolois : après la construction de D, construire la perpendiculaire à (AB) en B. Reporter en C, sur cette deuxième perpendiculaire, la longueur du côté avec le cercle de centre B passant par A. |
1.b. À partir d'un côté et du cercle circonscrit« Comment tracer un carré au compas ; Construction du carré inscrit dans un cercle![]() Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB], Remarque : avec la règle et le compas, tracer le cercle de centre A, passant par B, et le cercle de centre B passant par A. Le centre O du carré est un des points d'intersection de la médiatrice et du cercle de diamètre [AB]. Le cercle (c) de centre O, passant par A, est le cercle circonscrit au carré. Le sommet C est le deuxième point d'intersection de la droite (AO) et du cercle circonscrit (c). ABCD est un carré de côté [AB] inscrit dans le cercle (c). Voir : calcul de la longueur du côté d'un carré inscrit dans un cercle Voir aussi : carré inscrit dans un demi-cercle |
1.c. Diagonale du carréComment calculer la longueur d'une diagonale d'un carré Les deux diagonales du carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu : AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2 a2, pour un carré de côté AB = a. La longueur d'une diagonale, du carré de côté a, est a Construction du carré à partir d'une diagonale![]() Inscrire un carré dans un cercle de diamètre [AC] Placer deux sommets opposés A et C (ou bien le centre O et un sommet A), Tracer la médiatrice de [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et D. Remarque : la règle et le compas permettent de construire une médiatrice, en traçant le cercle de centre A passant par C et le cercle de centre C passant par A, qui se coupent en E et F. Longueur du côté d'un carré inscrit dans un cercle : Remarque : La meilleure façon de construire un carré n'est pas de le générer à partir d'un côté, mais de le générer à partir d'un centre de rotation O et d'un sommet A. Le carré ainsi fabriqué est invariant par quart de tour, a ses côtés égaux et ses angles égaux à 90°. La figure ci-contre permet aussi de construire un carré à partir du cercle circonscrit.
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1.d. Sulbasutra Construction du carré à partir d'une médiatrice![]() Construction de Baudhayana, Si l'on veut un carré, prendre une corde de longueur égale au carré donné, faire des nœuds aux deux extrémités et une marque en son milieu. Deux piquets sont plantés aux deux extrémités du diamètre. Un nœud étant fixé à l'est, on trace un cercle avec l'autre. Même chose à l'ouest. Avec deux nœuds fixés à l'est, on trace un cercle avec la marque ; on fait la même chose au sud, à l'ouest et au nord.
Texte en langage moderne Tracer le diamètre [OE] de longueur le côté du carré a, et une marque en son milieu I. Tracer le cercle de centre E et de rayon a. Même chose à l'ouest avec un cercle de centre O. On obtient les points d'intersection G et H, et le cercle de centre I et de rayon a/2 permet d'obtenir le second diamètre [SN]. On trace les cercles de centres E, S, O, N de rayons a/2. Les points d'intersection donnent le carré ABCD. |
1.e. Voir : construction du carré à la règle (non graduée) et l'équerre | |
1.f. Aire du carré![]() Carré inscrit dans un cercle ABCD est un carré de côté a = AB et diagonale d = AC. L'aire du carré de côté a est a2. Calculer la longueur du coté d un carré avec son aire : a = racine(Aire). Calcul de l'aire avec la diagonale du carré d = a L'aire du carré de diagonale d est Calcul d'aire avec un carré inscrit dans un cercle Le carré ABCD est inscrit dans un cercle de diamètre d. Vérifier que l'aire de la portion du disque extérieure au carré (coloriée en bleu clair) est : d2(
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2. Deux duplications du carréClasse de quatrième 2.a. Tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné. Paragraphe extrait de la page grands problèmes de la géométrie grecque. Duplication du carré avec une diagonale![]() Dans Ménon, un dialogue de Platon, Socrate explique la construction ci-dessus à un jeune esclave. La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire. Le rapport des aires des carrés est 2, En terminale S, étudier la similitude de centre A, d'angle 45° et de rapport
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Les carrés de Léonard de Vinci![]() Problèmes de construction – À partir d'un point A, construire le carré ABCD inscrit dans le cercle (c) ; Le carré circonscrit à un cercle a une aire double de celle du carré inscrit dans ce cercle.
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Solution de la duplication de Léonard de Vinci![]() À partir d'un « petit carré » ABCD, de centre O, on trace les cercles centrés sur les sommets, passant par O. Ces cercles se coupent en E, F, G, H, symétriques de O par rapport aux côtés du petit carré. EFGH est un « grand carré » tangent au cercle circonscrit à ABCD. Les diagonales du « petit carré » le partagent en quatre triangles isocèles rectangles. On obtient le « grand carré » avec quatre autres triangles isocèles rectangles de même aire, symétriques des quatre premiers.
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2.b. Cloître - Carré d'aire moitié![]() Olympiades 2008 - Toulouse Un cloître est constitué d'une cour intérieure centrale entourée d'une galerie latérale. La forme des cloîtres est généralement carrée et, est telle que l'aire de la galerie est égale à celle de la cour centrale.
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![]() Proposer une méthode permettant de tracer dans l'enclos un carré délimitant la future cour intérieure centrale du cloître Tracer les deux diagonales et le centre O du grand carré, En effet, si L est la longueur du côté du grand carré, le rayon du cercle est
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3. Le carré dans une planche à clousRetrouver ces figures GeoGebra dans la page : la planche à clous | |
Carré d'aire 2![]() |
Carré d'aire 5![]() |
Quatre carrés![]() |
Carré d'aire 10![]() |
Carré d'aire 2 dans un géoplan 3 × 3 Aire(ABCD) = 4 × Les diagonales se coupent en leur milieu O, sont de même longueur et sont perpendiculaires.
Carré d'aire 5 dans un géoplan 4 × 4 Le carré ABCD, formé du carré central A’B’C’D’ unitaire, et de quatre triangles rectangles AA’B, BB’C, CC’D, DD’A d'aires 1. Aire(ABCD) = 1 + 4 × 1 = 5. Voir, ci-dessous, la figure du moulin à vent Quatre carrés dans un géoplan 5 × 5 Aire(MNPQ) = 16, Aire(IJKL) = 4, Carré d'aire 10 Aire(ABCD) = 4 + 4 × 1,5 = 10, L'aire est obtenue en ajoutant ou en retranchant, à l'aire d'un carré, les aires de quatre triangles rectangles, d'aires 1,5. | |
4. Carré d'aire la somme des aires de deux carrés![]() Construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires de deux carrés 4.a. Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés : applications du théorème de la diagonale. Variations autour de Pythagore Théorème de la diagonale (Inde védique) Le carré produit par la diagonale d'un rectangle est égal à la somme des carrés produit par les deux côtés du rectangle. 4.b. Carré somme de deux carrésDessiner le moulin à vent d'Euclide en traçant deux carrés CBED et ACFG de côtés a et b à l'extérieur d'un angle droit en C. Commande : déplacer les points A ou B sur les côtés de l'angle droit.
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4.c. Différence de deux carrésConstruire un carré d'aire différence de deux carrés de côtés c et a Réaliser la figure du moulin à vent avec le tracé d'un carré ABIH de côté c. L'aire de ce carré est égale à la différence des aires des deux premiers carrés.
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4.d. Construction de Bhaskara![]() Construire un carré de côté b−a Construire un triangle rectangle A’O’B’ en O’ tel que O’A’ = a et O’B’ = b, avec b > a.
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4.e. Sulbasutra Construire un carré somme de deux carrés![]() Si l'on rassemble deux carrés de tailles différentes, que l'on trace à l'aide du côté du plus petit une bande du plus grand, la corde diagonale de cette bande est le côté du carré constitué des deux carrés rassemblés. EB est la longueur du côté du carré d'aire égale à la somme des aires des carrés contigus ACDE de côté a et ABFG de côté b. Avec ce que nous appelons le théorème de Pythagore. Dans le triangle ABE rectangle en A,
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4.f. Sulbasutra Construire un carré différence de deux carrés![]() IJ est la longueur du côté du carré d'aire égale à la différence des aires des carrés contigus ACDE et ABFG. Justifications Dans le triangle rectangle IJE, la relation de Pythagore donne :
Voir aussi : construction du carré à partir d'une médiatrice Problème : somme de trois carrés Géométrie des Sulbasutras - Publimath |
4.g. Carrés contigus![]() Construction à partir de deux carrés contigus BCFG et DEHF, de côtés a et b. |
![]() Une recherche guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus permet dans le cas général, aux élèves, de trouver une solution autour de la diagonale [BE] : On voit apparaître deux triangles rectangles, on construit alors un carré et on complète en traçant les verticales et les horizontales, pour obtenir la figure de Clairaut, à droite ci-contre. |
Démonstration visuelle du théorème de la diagonale![]() Le carré ABKE de diagonale [BE] est solution. Justifier cette construction par l'isométrie des triangles rectangles de sommets C et H, D et G : le triangle CBA est déplacé en HKE et le triangle DEA est déplacé en GKB
Puzzle de Clairault Retrouver cette configuration dans : similitude au bac | |
4.h. Carrés opposés par le sommet![]() Construire deux carrés EBCF et EDHK, de côtés a et b, aux côtés parallèles, ayant uniquement le sommet E en commun. Une recherche, guidée par la figure de duplication du carré ci-dessus, permet aux élèves, dans le cas général, de trouver une solution en construisant un carré à partir de [BK] ou de [FD].
Retrouver cette configuration dans : carrés du BOA, similitude au bac |
![]() Carré ABKG solution, construit à partir du segment [BK]. On retrouve la figure de la démonstration de Pythagore des quatre triangles. |
4.i. Puzzle de Gougu![]() Chine : puzzle reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui, époque Han, IIIe siècle Translation hors programme Puzzle de cinq pièces permettant de démontrer le théorème de Pythagore en déplaçant trois pièces. Par translation de trois triangles parallèlement aux diagonales du grand carré, on passe de deux carrés contigus au grand carré d'aire égale à la somme des aires de deux petits carrés. Ce puzzle est une des preuves du théorème de Pythagore.
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5. Multiplication par 3 de l'aire d'un carré![]() Construction d'Abu l-Wafa
Voir aussi : problème d'Abul-Wafa - Triangle équilatéral à l'intérieur d'un carré Réciproque : trisection du carré si b = a Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan. Autour d'un carré ABCD de côté a, on place quatre triangles isocèles identiques de telle façon que le sommet d'un des deux angles de 45° de chaque triangle tombe sur un des sommets du carré ABCD et l'hypoténuse le long du côté du carré. En joignant les sommets des angles droits des triangles rectangles, on obtient un carré EGIK. On montre facilement que EGIK est un carré. On montre ensuite que chacun des quatre triangles, dépassant du carré EGIK, est égal à un triangle manquant à l'intérieur du carré. Par exemple, EDGF est un parallélogramme, car (EF)//(DG) et EF = DG. Le triangle excédent EMF est symétrique, par rapport à M, du triangle manquant GMD. Leurs aires sont égales. Le carré EGIK a une aire égale à l'aire de ABCD et quatre fois l'aire du triangle rectangle AFE. Lorsque AE = AD = a, le triangle ABCD a une aire triple du carré ABCD. Si a est le côté de ABCD et b est la longueur des petits côtés des triangles rectangles isocèles ; Voir : la trisection du carré de Christian Blanvillain | |
6.a. Triangle rectangle de petits côtés 1 et 2![]() Figure du moulin à vent d'Euclide dans un quadrillage. Le carré BCHI et formé du petit carré central et de quatre triangles rectangles isométriques à ABC d'aires 1. Son aire totale est de 5 et on retrouve le calcul de la longueur de l'hypoténuse BC, qui mesure
Retrouver ce tracé dans la page : la planche à clous | |
6.b. Puzzle : reconstituer un carré avec 5 carrés alignés![]() On aligne cinq carrés égaux consécutifs. Reconstituer un carré. | |
6.c. Autres carrés à l'intérieur d'un carré![]() Sur les côtés d'un carré ABCD placer quatre points I, J, K et L tels que : La droite (IC) est perpendiculaire à (LB). PQRS est un carré. Les carrés ABCD et PQRS ont même centre, centre de la rotation, d'angle 90°, qui rend la figure invariante.
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6.d. Quatre carrés à l'intérieur d'un carré![]() Cas particulier Sur les côtés d'un carré ABCD placer quatre points I, J, K et L tels que : PQRS est un carré, Les médiatrices des côtés de PQRS rencontrent les côtés de ABCD à leur tiers (les intersections de la médiatrice de [SP] avec les côtés [AB] et [CD] sont les milieux de [AI] et de [KC]. De même on a les milieux de [BJ] et [DL].)
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7. Les trois carrés accolésOn aligne sur les figures ci-dessous trois carrés contigus égaux. 7.a. Somme de deux angles![]() Quelle est la somme des deux angles marqués x et y ? La somme des deux angles vaut 45°. Cinq méthodes pour le démontrer : Calculs trigonométriques au lycée7.a.1. En choisissant comme unité le côté d'un carré, 7.a.2. Pour amateurs de trigonométrie plus chevronnés,
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7.a.3. Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle![]() La rotation de centre B d'angle 90° transforme le triangle rectangle BEC en BFA, C a pour image A, d'où l'angle CBA mesure 90°. [BC] a pour image [BA], donc BC = BA. L'angle aigu BÂC du triangle rectangle isocèle, égal à la somme x + y, vaut 45°. 7.a.4. La réciproque de la propriété de Pythagore permet de le vérifier. En choisissant comme unité le côté d'un carré, ceux du triangle ABC ont pour longueurs : La somme x + y, égale à la mesure de l'angle aigu BÂC, vaut donc 45°.
Retrouver cette figure : prise2tete |
7.a.5. Triangles rectangles semblables![]() En choisissant comme unité le côté d'un carré, on a :
DE = 1 et BD = 2, Soit P le symétrique de C par rapport à F et Q le symétrique de G par rapport à B, APQE est un rectangle. Dans le triangle rectangle APE,
tan(EÂP) = PE/PA = La somme x + y, égale à l'angle DÂP, vaut donc 45°.
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7.b. L'embarras du choix![]() Pour montrer que les deux angles marqués x et z sont égaux, utiliser une des quatre autres méthodes suivantes : 7.b.1. Calculs géométriques faisant intervenir des sommes d'angles Avec y = DÂF, on a x + y = x + DÂF = 45°, somme trouvée en a.3 ci-dessus. Classe de seconde ou première 7.b.2. Calculer cos(x + 45°) dans le triangle AHF. 7.b.3. Calculer cos x avec Al-Kashi dans le triangle AGF. 7.b.4. Utiliser la loi des sinus : HF/sin x =… dans le triangle AHF.
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7.c. Prouver un alignement![]() Classes de troisième - seconde J est le milieu de [AG]. Pour cela, trouver la position du point I sur [BG] et dire ce que représentent le point I et la droite (CJ) dans le triangle ACG.
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8. Huit carrés - Somme de trois anglesOn aligne comme sur la figure ci-dessous huit carrés égaux. ![]() La somme des trois angles vaut 45°.
Classe de 5e, voir : un triangle dans un rectangle |
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